Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108144 / 100306
↖ ↑ ↗
← S 68.610524°
E117.026367°		 ← 111.39 m → S 68.610524°
E117.029114°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
S 68.611526°
E117.026367°		 ← 111.39 m →
12 405 m²		 S 68.611526°
E117.029114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825077056884766 y=0.765277862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825077056884766 × 217)
    floor (0.825077056884766 × 131072)
    floor (108144.5)     		tx = 108144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765277862548828 × 217)
    floor (0.765277862548828 × 131072)
    floor (100306.5)     		ty = 100306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108144 / 100306 ti = "17/108144/100306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108144/100306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108144 ÷ 217
    108144 ÷ 131072     		x = 0.8250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100306 ÷ 217
    100306 ÷ 131072     		y = 0.765274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8250732421875 × 2 - 1) × π
    0.650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04249542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765274047851562 × 2 - 1) × π
    -0.530548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66676599978935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04249542} λ = 2.04249542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66676599978935))-π/2
    2×atan(0.188856842165926)-π/2
    2×0.186658387916039-π/2
    0.373316775832077-1.57079632675     		φ = -1.19747955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04249542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19747955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.610524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108144 KachelY 100306 2.04249542 -1.19747955 117.026367 -68.610524
    Oben rechts KachelX + 1 108145 KachelY 100306 2.04254336 -1.19747955 117.029114 -68.610524
    Unten links KachelX 108144 KachelY + 1 100307 2.04249542 -1.19749703 117.026367 -68.611526
    Unten rechts KachelX + 1 108145 KachelY + 1 100307 2.04254336 -1.19749703 117.029114 -68.611526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19747955--1.19749703) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dl = 111.365080000797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19747955--1.19749703) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dr = 111.365080000797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04249542-2.04254336) × cos(-1.19747955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364705758934981 × 6371000     		do = 111.390526304905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04249542-2.04254336) × cos(-1.19749703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364689482852337 × 6371000     		du = 111.385555170319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19747955)-sin(-1.19749703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364705758934981-0.364689482852337)×R²
    abs(2.04254336-2.04249542)×1.62760826434849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62760826434849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62760826434849e-05×40589641000000     		ar = 12404.738068046m²