Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108134 / 100302
↖ ↑ ↗
← S 68.606517°
E116.998901°		 ← 111.41 m → S 68.606517°
E117.001648°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.607519°
E116.998901°		 ← 111.41 m →
12 414 m²		 S 68.607519°
E117.001648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825000762939453 y=0.765247344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825000762939453 × 217)
    floor (0.825000762939453 × 131072)
    floor (108134.5)     		tx = 108134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765247344970703 × 217)
    floor (0.765247344970703 × 131072)
    floor (100302.5)     		ty = 100302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108134 / 100302 ti = "17/108134/100302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108134/100302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108134 ÷ 217
    108134 ÷ 131072     		x = 0.824996948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100302 ÷ 217
    100302 ÷ 131072     		y = 0.765243530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824996948242188 × 2 - 1) × π
    0.649993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04201605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765243530273438 × 2 - 1) × π
    -0.530487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66657425219087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04201605} λ = 2.04201605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66657425219087))-π/2
    2×atan(0.188893058483953)-π/2
    2×0.186693356764224-π/2
    0.373386713528448-1.57079632675     		φ = -1.19740961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04201605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.998901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19740961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.606517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108134 KachelY 100302 2.04201605 -1.19740961 116.998901 -68.606517
    Oben rechts KachelX + 1 108135 KachelY 100302 2.04206399 -1.19740961 117.001648 -68.606517
    Unten links KachelX 108134 KachelY + 1 100303 2.04201605 -1.19742710 116.998901 -68.607519
    Unten rechts KachelX + 1 108135 KachelY + 1 100303 2.04206399 -1.19742710 117.001648 -68.607519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19740961--1.19742710) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dl = 111.42879000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19740961--1.19742710) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dr = 111.42879000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04201605-2.04206399) × cos(-1.19740961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364770880773091 × 6371000     		do = 111.4104161905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04201605-2.04206399) × cos(-1.19742710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364754595825312 × 6371000     		du = 111.405442348274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19740961)-sin(-1.19742710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364770880773091-0.364754595825312)×R²
    abs(2.04206399-2.04201605)×1.62849477789995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62849477789995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62849477789995e-05×40589641000000     		ar = 12414.05075527m²