Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108131 / 100303
↖ ↑ ↗
← S 68.607519°
E116.990662°		 ← 111.41 m → S 68.607519°
E116.993408°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
S 68.608521°
E116.990662°		 ← 111.40 m →
12 406 m²		 S 68.608521°
E116.993408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824977874755859 y=0.765254974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824977874755859 × 217)
    floor (0.824977874755859 × 131072)
    floor (108131.5)     		tx = 108131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765254974365234 × 217)
    floor (0.765254974365234 × 131072)
    floor (100303.5)     		ty = 100303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108131 / 100303 ti = "17/108131/100303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108131/100303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108131 ÷ 217
    108131 ÷ 131072     		x = 0.824974060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100303 ÷ 217
    100303 ÷ 131072     		y = 0.765251159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824974060058594 × 2 - 1) × π
    0.649948120117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04187224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765251159667969 × 2 - 1) × π
    -0.530502319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66662218909049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04187224} λ = 2.04187224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66662218909049))-π/2
    2×atan(0.188884003753399)-π/2
    2×0.186684613966863-π/2
    0.373369227933727-1.57079632675     		φ = -1.19742710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04187224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.990662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19742710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.607519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108131 KachelY 100303 2.04187224 -1.19742710 116.990662 -68.607519
    Oben rechts KachelX + 1 108132 KachelY 100303 2.04192018 -1.19742710 116.993408 -68.607519
    Unten links KachelX 108131 KachelY + 1 100304 2.04187224 -1.19744458 116.990662 -68.608521
    Unten rechts KachelX + 1 108132 KachelY + 1 100304 2.04192018 -1.19744458 116.993408 -68.608521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19742710--1.19744458) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dl = 111.365079999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19742710--1.19744458) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dr = 111.365079999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04187224-2.04192018) × cos(-1.19742710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364754595825312 × 6371000     		do = 111.405442348274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04187224-2.04192018) × cos(-1.19744458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364738320077055 × 6371000     		du = 111.400471315818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19742710)-sin(-1.19744458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364754595825312-0.364738320077055)×R²
    abs(2.04192018-2.04187224)×1.62757482566889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62757482566889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62757482566889e-05×40589641000000     		ar = 12406.3992001628m²