Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108131 / 100097
↖ ↑ ↗
← S 68.400191°
E116.990662°		 ← 112.43 m → S 68.400191°
E116.993408°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.401202°
E116.990662°		 ← 112.43 m →
12 643 m²		 S 68.401202°
E116.993408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824977874755859 y=0.763683319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824977874755859 × 217)
    floor (0.824977874755859 × 131072)
    floor (108131.5)     		tx = 108131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763683319091797 × 217)
    floor (0.763683319091797 × 131072)
    floor (100097.5)     		ty = 100097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108131 / 100097 ti = "17/108131/100097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108131/100097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108131 ÷ 217
    108131 ÷ 131072     		x = 0.824974060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100097 ÷ 217
    100097 ÷ 131072     		y = 0.763679504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824974060058594 × 2 - 1) × π
    0.649948120117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04187224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763679504394531 × 2 - 1) × π
    -0.527359008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65674718776876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04187224} λ = 2.04187224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65674718776876))-π/2
    2×atan(0.19075847350326)-π/2
    2×0.188493891197782-π/2
    0.376987782395564-1.57079632675     		φ = -1.19380854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04187224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.990662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19380854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.400191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108131 KachelY 100097 2.04187224 -1.19380854 116.990662 -68.400191
    Oben rechts KachelX + 1 108132 KachelY 100097 2.04192018 -1.19380854 116.993408 -68.400191
    Unten links KachelX 108131 KachelY + 1 100098 2.04187224 -1.19382619 116.990662 -68.401202
    Unten rechts KachelX + 1 108132 KachelY + 1 100098 2.04192018 -1.19382619 116.993408 -68.401202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19380854--1.19382619) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19380854--1.19382619) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04187224-2.04192018) × cos(-1.19380854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368121455005935 × 6371000     		do = 112.433767804991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04187224-2.04192018) × cos(-1.19382619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368105044371974 × 6371000     		du = 112.428755574969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19380854)-sin(-1.19382619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368121455005935-0.368105044371974)×R²
    abs(2.04192018-2.04187224)×1.64106339610171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64106339610171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64106339610171e-05×40589641000000     		ar = 12642.6873794709m²