Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108128 / 100299
↖ ↑ ↗
← S 68.603511°
E116.982422°		 ← 111.43 m → S 68.603511°
E116.985169°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.604513°
E116.982422°		 ← 111.42 m →
12 416 m²		 S 68.604513°
E116.985169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824954986572266 y=0.765224456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824954986572266 × 217)
    floor (0.824954986572266 × 131072)
    floor (108128.5)     		tx = 108128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765224456787109 × 217)
    floor (0.765224456787109 × 131072)
    floor (100299.5)     		ty = 100299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108128 / 100299 ti = "17/108128/100299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108128/100299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108128 ÷ 217
    108128 ÷ 131072     		x = 0.824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100299 ÷ 217
    100299 ÷ 131072     		y = 0.765220642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824951171875 × 2 - 1) × π
    0.64990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04172843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765220642089844 × 2 - 1) × π
    -0.530441284179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66643044149201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04172843} λ = 2.04172843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66643044149201))-π/2
    2×atan(0.188920225280095)-π/2
    2×0.186719587497769-π/2
    0.373439174995537-1.57079632675     		φ = -1.19735715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04172843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19735715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.603511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108128 KachelY 100299 2.04172843 -1.19735715 116.982422 -68.603511
    Oben rechts KachelX + 1 108129 KachelY 100299 2.04177637 -1.19735715 116.985169 -68.603511
    Unten links KachelX 108128 KachelY + 1 100300 2.04172843 -1.19737464 116.982422 -68.604513
    Unten rechts KachelX + 1 108129 KachelY + 1 100300 2.04177637 -1.19737464 116.985169 -68.604513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19735715--1.19737464) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dl = 111.42879000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19735715--1.19737464) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dr = 111.42879000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04172843-2.04177637) × cos(-1.19735715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364819725636125 × 6371000     		do = 111.425334668937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04172843-2.04177637) × cos(-1.19737464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364803441023048 × 6371000     		du = 111.420360928938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19735715)-sin(-1.19737464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364819725636125-0.364803441023048)×R²
    abs(2.04177637-2.04172843)×1.62846130775662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62846130775662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62846130775662e-05×40589641000000     		ar = 12415.7131090629m²