Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108119 / 100264
↖ ↑ ↗
← S 68.568414°
E116.957703°		 ← 111.58 m → S 68.568414°
E116.960449°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.569417°
E116.957703°		 ← 111.57 m →
12 454 m²		 S 68.569417°
E116.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824886322021484 y=0.764957427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824886322021484 × 217)
    floor (0.824886322021484 × 131072)
    floor (108119.5)     		tx = 108119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764957427978516 × 217)
    floor (0.764957427978516 × 131072)
    floor (100264.5)     		ty = 100264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108119 / 100264 ti = "17/108119/100264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108119/100264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108119 ÷ 217
    108119 ÷ 131072     		x = 0.824882507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100264 ÷ 217
    100264 ÷ 131072     		y = 0.76495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824882507324219 × 2 - 1) × π
    0.649765014648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.04129700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.5299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66475265000531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04129700} λ = 2.04129700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66475265000531))-π/2
    2×atan(0.18923746007824)-π/2
    2×0.187025872362092-π/2
    0.374051744724185-1.57079632675     		φ = -1.19674458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04129700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.957703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19674458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.568414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108119 KachelY 100264 2.04129700 -1.19674458 116.957703 -68.568414
    Oben rechts KachelX + 1 108120 KachelY 100264 2.04134493 -1.19674458 116.960449 -68.568414
    Unten links KachelX 108119 KachelY + 1 100265 2.04129700 -1.19676210 116.957703 -68.569417
    Unten rechts KachelX + 1 108120 KachelY + 1 100265 2.04134493 -1.19676210 116.960449 -68.569417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19674458--1.19676210) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dl = 111.619919999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19674458--1.19676210) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dr = 111.619919999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04129700-2.04134493) × cos(-1.19674458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365390007710217 × 6371000     		do = 111.576234496176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04129700-2.04134493) × cos(-1.19676210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365373699082904 × 6371000     		du = 111.571254460633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19674458)-sin(-1.19676210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365390007710217-0.365373699082904)×R²
    abs(2.04134493-2.04129700)×1.63086273134994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63086273134994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63086273134994e-05×40589641000000     		ar = 12453.8524331436m²