Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108119 / 100121
↖ ↑ ↗
← S 68.424444°
E116.957703°		 ← 112.29 m → S 68.424444°
E116.960449°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.425454°
E116.957703°		 ← 112.29 m →
12 605 m²		 S 68.425454°
E116.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824886322021484 y=0.763866424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824886322021484 × 217)
    floor (0.824886322021484 × 131072)
    floor (108119.5)     		tx = 108119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763866424560547 × 217)
    floor (0.763866424560547 × 131072)
    floor (100121.5)     		ty = 100121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108119 / 100121 ti = "17/108119/100121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108119/100121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108119 ÷ 217
    108119 ÷ 131072     		x = 0.824882507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100121 ÷ 217
    100121 ÷ 131072     		y = 0.763862609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824882507324219 × 2 - 1) × π
    0.649765014648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.04129700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763862609863281 × 2 - 1) × π
    -0.527725219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65789767335964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04129700} λ = 2.04129700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65789767335964))-π/2
    2×atan(0.190539134825344)-π/2
    2×0.188282245210221-π/2
    0.376564490420442-1.57079632675     		φ = -1.19423184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04129700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.957703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19423184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.424444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108119 KachelY 100121 2.04129700 -1.19423184 116.957703 -68.424444
    Oben rechts KachelX + 1 108120 KachelY 100121 2.04134493 -1.19423184 116.960449 -68.424444
    Unten links KachelX 108119 KachelY + 1 100122 2.04129700 -1.19424946 116.957703 -68.425454
    Unten rechts KachelX + 1 108120 KachelY + 1 100122 2.04134493 -1.19424946 116.960449 -68.425454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19423184--1.19424946) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19423184--1.19424946) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04129700-2.04134493) × cos(-1.19423184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367727847131523 × 6371000     		do = 112.29012188768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04129700-2.04134493) × cos(-1.19424946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367711461646966 × 6371000     		du = 112.285118382853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19423184)-sin(-1.19424946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367727847131523-0.367711461646966)×R²
    abs(2.04134493-2.04129700)×1.63854845567357e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63854845567357e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63854845567357e-05×40589641000000     		ar = 12605.073619583m²