Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108118 / 100267
↖ ↑ ↗
← S 68.571424°
E116.954956°		 ← 111.58 m → S 68.571424°
E116.957703°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.572428°
E116.954956°		 ← 111.58 m →
12 448 m²		 S 68.572428°
E116.957703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824878692626953 y=0.764980316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824878692626953 × 217)
    floor (0.824878692626953 × 131072)
    floor (108118.5)     		tx = 108118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764980316162109 × 217)
    floor (0.764980316162109 × 131072)
    floor (100267.5)     		ty = 100267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108118 / 100267 ti = "17/108118/100267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108118/100267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108118 ÷ 217
    108118 ÷ 131072     		x = 0.824874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100267 ÷ 217
    100267 ÷ 131072     		y = 0.764976501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824874877929688 × 2 - 1) × π
    0.649749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04124906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764976501464844 × 2 - 1) × π
    -0.529953002929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66489646070417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04124906} λ = 2.04124906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66489646070417))-π/2
    2×atan(0.18921024766362)-π/2
    2×0.186999600624557-π/2
    0.373999201249114-1.57079632675     		φ = -1.19679713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04124906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.954956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19679713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.571424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108118 KachelY 100267 2.04124906 -1.19679713 116.954956 -68.571424
    Oben rechts KachelX + 1 108119 KachelY 100267 2.04129700 -1.19679713 116.957703 -68.571424
    Unten links KachelX 108118 KachelY + 1 100268 2.04124906 -1.19681464 116.954956 -68.572428
    Unten rechts KachelX + 1 108119 KachelY + 1 100268 2.04129700 -1.19681464 116.957703 -68.572428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19679713--1.19681464) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19679713--1.19681464) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04124906-2.04129700) × cos(-1.19679713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365341090800564 × 6371000     		do = 111.584573010096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04124906-2.04129700) × cos(-1.19681464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365324791145676 × 6371000     		du = 111.57959467594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19679713)-sin(-1.19681464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365341090800564-0.365324791145676)×R²
    abs(2.04129700-2.04124906)×1.62996548881411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62996548881411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62996548881411e-05×40589641000000     		ar = 12447.6743776278m²