Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108118 / 100076
↖ ↑ ↗
← S 68.378948°
E116.954956°		 ← 112.54 m → S 68.378948°
E116.957703°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.379960°
E116.954956°		 ← 112.53 m →
12 662 m²		 S 68.379960°
E116.957703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824878692626953 y=0.763523101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824878692626953 × 217)
    floor (0.824878692626953 × 131072)
    floor (108118.5)     		tx = 108118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763523101806641 × 217)
    floor (0.763523101806641 × 131072)
    floor (100076.5)     		ty = 100076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108118 / 100076 ti = "17/108118/100076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108118/100076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108118 ÷ 217
    108118 ÷ 131072     		x = 0.824874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100076 ÷ 217
    100076 ÷ 131072     		y = 0.763519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824874877929688 × 2 - 1) × π
    0.649749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04124906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.52703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65574051287674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04124906} λ = 2.04124906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65574051287674))-π/2
    2×atan(0.190950601958197)-π/2
    2×0.188679267245426-π/2
    0.377358534490853-1.57079632675     		φ = -1.19343779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04124906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.954956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19343779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.378948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108118 KachelY 100076 2.04124906 -1.19343779 116.954956 -68.378948
    Oben rechts KachelX + 1 108119 KachelY 100076 2.04129700 -1.19343779 116.957703 -68.378948
    Unten links KachelX 108118 KachelY + 1 100077 2.04124906 -1.19345545 116.954956 -68.379960
    Unten rechts KachelX + 1 108119 KachelY + 1 100077 2.04129700 -1.19345545 116.957703 -68.379960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19343779--1.19345545) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19343779--1.19345545) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04124906-2.04129700) × cos(-1.19343779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368466144784718 × 6371000     		do = 112.539044935746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04124906-2.04129700) × cos(-1.19345545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368449727264244 × 6371000     		du = 112.534030602406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19343779)-sin(-1.19345545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368466144784718-0.368449727264244)×R²
    abs(2.04129700-2.04124906)×1.64175204735995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64175204735995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64175204735995e-05×40589641000000     		ar = 12661.6951826103m²