Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108100 / 100156
↖ ↑ ↗
← S 68.459766°
E116.905518°		 ← 112.12 m → S 68.459766°
E116.908264°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.460775°
E116.905518°		 ← 112.11 m →
12 571 m²		 S 68.460775°
E116.908264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824741363525391 y=0.764133453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824741363525391 × 217)
    floor (0.824741363525391 × 131072)
    floor (108100.5)     		tx = 108100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764133453369141 × 217)
    floor (0.764133453369141 × 131072)
    floor (100156.5)     		ty = 100156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108100 / 100156 ti = "17/108100/100156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108100/100156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108100 ÷ 217
    108100 ÷ 131072     		x = 0.824737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100156 ÷ 217
    100156 ÷ 131072     		y = 0.764129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824737548828125 × 2 - 1) × π
    0.64947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04038620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.52825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65957546484634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04038620} λ = 2.04038620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65957546484634))-π/2
    2×atan(0.190219717919462)-π/2
    2×0.18797400043086-π/2
    0.375948000861721-1.57079632675     		φ = -1.19484833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04038620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19484833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.459766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108100 KachelY 100156 2.04038620 -1.19484833 116.905518 -68.459766
    Oben rechts KachelX + 1 108101 KachelY 100156 2.04043413 -1.19484833 116.908264 -68.459766
    Unten links KachelX 108100 KachelY + 1 100157 2.04038620 -1.19486593 116.905518 -68.460775
    Unten rechts KachelX + 1 108101 KachelY + 1 100157 2.04043413 -1.19486593 116.908264 -68.460775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19484833--1.19486593) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19484833--1.19486593) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04038620-2.04043413) × cos(-1.19484833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367154482612953 × 6371000     		do = 112.11503813436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04038620-2.04043413) × cos(-1.19486593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367138111740464 × 6371000     		du = 112.110039091504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19484833)-sin(-1.19486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367154482612953-0.367138111740464)×R²
    abs(2.04043413-2.04038620)×1.63708724885137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63708724885137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63708724885137e-05×40589641000000     		ar = 12571.134110112m²