Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108099 / 100155
↖ ↑ ↗
← S 68.458758°
E116.902771°		 ← 112.14 m → S 68.458758°
E116.905518°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.459766°
E116.902771°		 ← 112.14 m →
12 574 m²		 S 68.459766°
E116.905518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824733734130859 y=0.764125823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824733734130859 × 217)
    floor (0.824733734130859 × 131072)
    floor (108099.5)     		tx = 108099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764125823974609 × 217)
    floor (0.764125823974609 × 131072)
    floor (100155.5)     		ty = 100155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108099 / 100155 ti = "17/108099/100155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108099/100155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108099 ÷ 217
    108099 ÷ 131072     		x = 0.824729919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100155 ÷ 217
    100155 ÷ 131072     		y = 0.764122009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824729919433594 × 2 - 1) × π
    0.649459838867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.04033826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764122009277344 × 2 - 1) × π
    -0.528244018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.65952752794672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04033826} λ = 2.04033826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65952752794672))-π/2
    2×atan(0.190228836681547)-π/2
    2×0.187982800750937-π/2
    0.375965601501874-1.57079632675     		φ = -1.19483073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04033826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.902771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19483073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.458758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108099 KachelY 100155 2.04033826 -1.19483073 116.902771 -68.458758
    Oben rechts KachelX + 1 108100 KachelY 100155 2.04038620 -1.19483073 116.905518 -68.458758
    Unten links KachelX 108099 KachelY + 1 100156 2.04033826 -1.19484833 116.902771 -68.459766
    Unten rechts KachelX + 1 108100 KachelY + 1 100156 2.04038620 -1.19484833 116.905518 -68.459766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19483073--1.19484833) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dl = 112.12959999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19483073--1.19484833) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dr = 112.12959999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04033826-2.04038620) × cos(-1.19483073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367170853371711 × 6371000     		do = 112.143429597413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04033826-2.04038620) × cos(-1.19484833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367154482612953 × 6371000     		du = 112.138429546305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19483073)-sin(-1.19484833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367170853371711-0.367154482612953)×R²
    abs(2.04038620-2.04033826)×1.63707587584883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63707587584883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63707587584883e-05×40589641000000     		ar = 12574.3175766584m²