Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108097 / 100128
↖ ↑ ↗
← S 68.431513°
E116.897278°		 ← 112.28 m → S 68.431513°
E116.900024°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.432522°
E116.897278°		 ← 112.27 m →
12 604 m²		 S 68.432522°
E116.900024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824718475341797 y=0.763919830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824718475341797 × 217)
    floor (0.824718475341797 × 131072)
    floor (108097.5)     		tx = 108097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763919830322266 × 217)
    floor (0.763919830322266 × 131072)
    floor (100128.5)     		ty = 100128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108097 / 100128 ti = "17/108097/100128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108097/100128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108097 ÷ 217
    108097 ÷ 131072     		x = 0.824714660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100128 ÷ 217
    100128 ÷ 131072     		y = 0.763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824714660644531 × 2 - 1) × π
    0.649429321289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.04024238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.52783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65823323165698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04024238} λ = 2.04024238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65823323165698))-π/2
    2×atan(0.190475208563779)-π/2
    2×0.188220557769865-π/2
    0.37644111553973-1.57079632675     		φ = -1.19435521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04024238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.897278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19435521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.431513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108097 KachelY 100128 2.04024238 -1.19435521 116.897278 -68.431513
    Oben rechts KachelX + 1 108098 KachelY 100128 2.04029032 -1.19435521 116.900024 -68.431513
    Unten links KachelX 108097 KachelY + 1 100129 2.04024238 -1.19437283 116.897278 -68.432522
    Unten rechts KachelX + 1 108098 KachelY + 1 100129 2.04029032 -1.19437283 116.900024 -68.432522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19435521--1.19437283) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19435521--1.19437283) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04024238-2.04029032) × cos(-1.19435521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367613118443052 × 6371000     		do = 112.278508734103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04024238-2.04029032) × cos(-1.19437283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367596732159278 × 6371000     		du = 112.273503941256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19435521)-sin(-1.19437283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367613118443052-0.367596732159278)×R²
    abs(2.04029032-2.04024238)×1.63862837735951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63862837735951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63862837735951e-05×40589641000000     		ar = 12603.7698893338m²