Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108090 / 100154
↖ ↑ ↗
← S 68.457749°
E116.878052°		 ← 112.13 m → S 68.457749°
E116.880798°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.458758°
E116.878052°		 ← 112.12 m →
12 579 m²		 S 68.458758°
E116.880798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824665069580078 y=0.764118194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824665069580078 × 217)
    floor (0.824665069580078 × 131072)
    floor (108090.5)     		tx = 108090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764118194580078 × 217)
    floor (0.764118194580078 × 131072)
    floor (100154.5)     		ty = 100154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108090 / 100154 ti = "17/108090/100154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108090/100154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108090 ÷ 217
    108090 ÷ 131072     		x = 0.824661254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100154 ÷ 217
    100154 ÷ 131072     		y = 0.764114379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824661254882812 × 2 - 1) × π
    0.649322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03990683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764114379882812 × 2 - 1) × π
    -0.528228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6594795910471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03990683} λ = 2.03990683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6594795910471))-π/2
    2×atan(0.190237955880767)-π/2
    2×0.187991601463417-π/2
    0.375983202926833-1.57079632675     		φ = -1.19481312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03990683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.878052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19481312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.457749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108090 KachelY 100154 2.03990683 -1.19481312 116.878052 -68.457749
    Oben rechts KachelX + 1 108091 KachelY 100154 2.03995476 -1.19481312 116.880798 -68.457749
    Unten links KachelX 108090 KachelY + 1 100155 2.03990683 -1.19483073 116.878052 -68.458758
    Unten rechts KachelX + 1 108091 KachelY + 1 100155 2.03995476 -1.19483073 116.880798 -68.458758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19481312--1.19483073) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19481312--1.19483073) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03990683-2.03995476) × cos(-1.19481312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367187233318206 × 6371000     		do = 112.1250389562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03990683-2.03995476) × cos(-1.19483073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367170853371711 × 6371000     		du = 112.120037142487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19481312)-sin(-1.19483073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367187233318206-0.367170853371711)×R²
    abs(2.03995476-2.03990683)×1.63799464943382e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63799464943382e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63799464943382e-05×40589641000000     		ar = 12579.3986697575m²