Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108085 / 100141
↖ ↑ ↗
← S 68.444635°
E116.864319°		 ← 112.21 m → S 68.444635°
E116.867065°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.445644°
E116.864319°		 ← 112.21 m →
12 596 m²		 S 68.445644°
E116.867065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824626922607422 y=0.764019012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824626922607422 × 217)
    floor (0.824626922607422 × 131072)
    floor (108085.5)     		tx = 108085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764019012451172 × 217)
    floor (0.764019012451172 × 131072)
    floor (100141.5)     		ty = 100141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108085 / 100141 ti = "17/108085/100141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108085/100141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108085 ÷ 217
    108085 ÷ 131072     		x = 0.824623107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100141 ÷ 217
    100141 ÷ 131072     		y = 0.764015197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824623107910156 × 2 - 1) × π
    0.649246215820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.03966714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764015197753906 × 2 - 1) × π
    -0.528030395507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65885641135204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03966714} λ = 2.03966714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65885641135204))-π/2
    2×atan(0.19035654525951)-π/2
    2×0.188106046441082-π/2
    0.376212092882163-1.57079632675     		φ = -1.19458423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03966714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.864319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19458423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.444635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108085 KachelY 100141 2.03966714 -1.19458423 116.864319 -68.444635
    Oben rechts KachelX + 1 108086 KachelY 100141 2.03971508 -1.19458423 116.867065 -68.444635
    Unten links KachelX 108085 KachelY + 1 100142 2.03966714 -1.19460185 116.864319 -68.445644
    Unten rechts KachelX + 1 108086 KachelY + 1 100142 2.03971508 -1.19460185 116.867065 -68.445644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19458423--1.19460185) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19458423--1.19460185) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03966714-2.03971508) × cos(-1.19458423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367400125056167 × 6371000     		do = 112.213455071299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03966714-2.03971508) × cos(-1.19460185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367383737289415 × 6371000     		du = 112.208449825512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19458423)-sin(-1.19460185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367400125056167-0.367383737289415)×R²
    abs(2.03971508-2.03966714)×1.63877667517798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63877667517798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63877667517798e-05×40589641000000     		ar = 12596.4671334479m²