Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108084 / 100078
↖ ↑ ↗
← S 68.380973°
E116.861573°		 ← 112.51 m → S 68.380973°
E116.864319°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.381985°
E116.861573°		 ← 112.50 m →
12 658 m²		 S 68.381985°
E116.864319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824619293212891 y=0.763538360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824619293212891 × 217)
    floor (0.824619293212891 × 131072)
    floor (108084.5)     		tx = 108084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763538360595703 × 217)
    floor (0.763538360595703 × 131072)
    floor (100078.5)     		ty = 100078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108084 / 100078 ti = "17/108084/100078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108084/100078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108084 ÷ 217
    108084 ÷ 131072     		x = 0.824615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100078 ÷ 217
    100078 ÷ 131072     		y = 0.763534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824615478515625 × 2 - 1) × π
    0.64923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03961921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763534545898438 × 2 - 1) × π
    -0.527069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65583638667598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03961921} λ = 2.03961921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65583638667598))-π/2
    2×atan(0.19093229567608)-π/2
    2×0.188661604908055-π/2
    0.37732320981611-1.57079632675     		φ = -1.19347312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03961921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.861573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19347312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.380973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108084 KachelY 100078 2.03961921 -1.19347312 116.861573 -68.380973
    Oben rechts KachelX + 1 108085 KachelY 100078 2.03966714 -1.19347312 116.864319 -68.380973
    Unten links KachelX 108084 KachelY + 1 100079 2.03961921 -1.19349078 116.861573 -68.381985
    Unten rechts KachelX + 1 108085 KachelY + 1 100079 2.03966714 -1.19349078 116.864319 -68.381985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19347312--1.19349078) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19347312--1.19349078) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03961921-2.03966714) × cos(-1.19347312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368433300332319 × 6371000     		do = 112.505540509145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03961921-2.03966714) × cos(-1.19349078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368416882581964 × 6371000     		du = 112.500527151569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19347312)-sin(-1.19349078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368433300332319-0.368416882581964)×R²
    abs(2.03966714-2.03961921)×1.64177503544916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64177503544916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64177503544916e-05×40589641000000     		ar = 12657.92559244m²