Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108082 / 100114
↖ ↑ ↗
← S 68.417373°
E116.856079°		 ← 112.35 m → S 68.417373°
E116.858826°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.418383°
E116.856079°		 ← 112.34 m →
12 626 m²		 S 68.418383°
E116.858826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824604034423828 y=0.763813018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824604034423828 × 217)
    floor (0.824604034423828 × 131072)
    floor (108082.5)     		tx = 108082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763813018798828 × 217)
    floor (0.763813018798828 × 131072)
    floor (100114.5)     		ty = 100114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108082 / 100114 ti = "17/108082/100114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108082/100114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108082 ÷ 217
    108082 ÷ 131072     		x = 0.824600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100114 ÷ 217
    100114 ÷ 131072     		y = 0.763809204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824600219726562 × 2 - 1) × π
    0.649200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03952333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763809204101562 × 2 - 1) × π
    -0.527618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6575621150623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03952333} λ = 2.03952333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6575621150623))-π/2
    2×atan(0.190603082541496)-π/2
    2×0.188343951902954-π/2
    0.376687903805908-1.57079632675     		φ = -1.19410842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03952333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.856079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19410842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.417373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108082 KachelY 100114 2.03952333 -1.19410842 116.856079 -68.417373
    Oben rechts KachelX + 1 108083 KachelY 100114 2.03957127 -1.19410842 116.858826 -68.417373
    Unten links KachelX 108082 KachelY + 1 100115 2.03952333 -1.19412606 116.856079 -68.418383
    Unten rechts KachelX + 1 108083 KachelY + 1 100115 2.03957127 -1.19412606 116.858826 -68.418383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19410842--1.19412606) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19410842--1.19412606) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03952333-2.03957127) × cos(-1.19410842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367842616717522 × 6371000     		do = 112.348603414412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03952333-2.03957127) × cos(-1.19412606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367826213434865 × 6371000     		du = 112.343593429668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19410842)-sin(-1.19412606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367842616717522-0.367826213434865)×R²
    abs(2.03957127-2.03952333)×1.64032826575622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64032826575622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64032826575622e-05×40589641000000     		ar = 12625.9533575188m²