Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108076 / 100092
↖ ↑ ↗
← S 68.395135°
E116.839600°		 ← 112.46 m → S 68.395135°
E116.842346°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.396146°
E116.839600°		 ← 112.45 m →
12 646 m²		 S 68.396146°
E116.842346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824558258056641 y=0.763645172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824558258056641 × 217)
    floor (0.824558258056641 × 131072)
    floor (108076.5)     		tx = 108076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763645172119141 × 217)
    floor (0.763645172119141 × 131072)
    floor (100092.5)     		ty = 100092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108076 / 100092 ti = "17/108076/100092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108076/100092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108076 ÷ 217
    108076 ÷ 131072     		x = 0.824554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100092 ÷ 217
    100092 ÷ 131072     		y = 0.763641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824554443359375 × 2 - 1) × π
    0.64910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03923571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.52728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65650750327066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03923571} λ = 2.03923571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65650750327066))-π/2
    2×atan(0.190804200832087)-π/2
    2×0.188538012616445-π/2
    0.377076025232891-1.57079632675     		φ = -1.19372030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03923571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.839600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19372030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.395135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108076 KachelY 100092 2.03923571 -1.19372030 116.839600 -68.395135
    Oben rechts KachelX + 1 108077 KachelY 100092 2.03928365 -1.19372030 116.842346 -68.395135
    Unten links KachelX 108076 KachelY + 1 100093 2.03923571 -1.19373795 116.839600 -68.396146
    Unten rechts KachelX + 1 108077 KachelY + 1 100093 2.03928365 -1.19373795 116.842346 -68.396146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19372030--1.19373795) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19372030--1.19373795) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03923571-2.03928365) × cos(-1.19372030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368203497158014 × 6371000     		do = 112.458825590001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03923571-2.03928365) × cos(-1.19373795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36818708709743 × 6371000     		du = 112.453813535103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19372030)-sin(-1.19373795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368203497158014-0.36818708709743)×R²
    abs(2.03928365-2.03923571)×1.64100605842266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64100605842266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64100605842266e-05×40589641000000     		ar = 12645.5050910418m²