Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108074 / 100227
↖ ↑ ↗
← S 68.531251°
E116.834107°		 ← 111.76 m → S 68.531251°
E116.836853°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.532256°
E116.834107°		 ← 111.76 m →
12 489 m²		 S 68.532256°
E116.836853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824542999267578 y=0.764675140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824542999267578 × 217)
    floor (0.824542999267578 × 131072)
    floor (108074.5)     		tx = 108074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764675140380859 × 217)
    floor (0.764675140380859 × 131072)
    floor (100227.5)     		ty = 100227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108074 / 100227 ti = "17/108074/100227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108074/100227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108074 ÷ 217
    108074 ÷ 131072     		x = 0.824539184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100227 ÷ 217
    100227 ÷ 131072     		y = 0.764671325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824539184570312 × 2 - 1) × π
    0.649078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03913984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764671325683594 × 2 - 1) × π
    -0.529342651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66297898471937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03913984} λ = 2.03913984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66297898471937))-π/2
    2×atan(0.189573401828021)-π/2
    2×0.18735017976997-π/2
    0.374700359539941-1.57079632675     		φ = -1.19609597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03913984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.834107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19609597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.531251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108074 KachelY 100227 2.03913984 -1.19609597 116.834107 -68.531251
    Oben rechts KachelX + 1 108075 KachelY 100227 2.03918777 -1.19609597 116.836853 -68.531251
    Unten links KachelX 108074 KachelY + 1 100228 2.03913984 -1.19611351 116.834107 -68.532256
    Unten rechts KachelX + 1 108075 KachelY + 1 100228 2.03918777 -1.19611351 116.836853 -68.532256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19609597--1.19611351) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19609597--1.19611351) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03913984-2.03918777) × cos(-1.19609597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365993692360935 × 6371000     		do = 111.760576866599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03913984-2.03918777) × cos(-1.19611351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365977369276647 × 6371000     		du = 111.755592416445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19609597)-sin(-1.19611351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365993692360935-0.365977369276647)×R²
    abs(2.03918777-2.03913984)×1.63230842878948e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63230842878948e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63230842878948e-05×40589641000000     		ar = 12488.6686824733m²