Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108072 / 100230
↖ ↑ ↗
← S 68.534266°
E116.828613°		 ← 111.77 m → S 68.534266°
E116.831360°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.535271°
E116.828613°		 ← 111.76 m →
12 490 m²		 S 68.535271°
E116.831360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824527740478516 y=0.764698028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824527740478516 × 217)
    floor (0.824527740478516 × 131072)
    floor (108072.5)     		tx = 108072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764698028564453 × 217)
    floor (0.764698028564453 × 131072)
    floor (100230.5)     		ty = 100230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108072 / 100230 ti = "17/108072/100230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108072/100230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108072 ÷ 217
    108072 ÷ 131072     		x = 0.82452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100230 ÷ 217
    100230 ÷ 131072     		y = 0.764694213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82452392578125 × 2 - 1) × π
    0.6490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03904396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764694213867188 × 2 - 1) × π
    -0.529388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66312279541823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03904396} λ = 2.03904396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66312279541823))-π/2
    2×atan(0.189546141104857)-π/2
    2×0.187323864626413-π/2
    0.374647729252827-1.57079632675     		φ = -1.19614860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03904396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.828613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19614860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.534266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108072 KachelY 100230 2.03904396 -1.19614860 116.828613 -68.534266
    Oben rechts KachelX + 1 108073 KachelY 100230 2.03909190 -1.19614860 116.831360 -68.534266
    Unten links KachelX 108072 KachelY + 1 100231 2.03904396 -1.19616614 116.828613 -68.535271
    Unten rechts KachelX + 1 108073 KachelY + 1 100231 2.03909190 -1.19616614 116.831360 -68.535271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19614860--1.19616614) × R
    1.75400000002046e-05 × 6371000     		dl = 111.747340001304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19614860--1.19616614) × R
    1.75400000002046e-05 × 6371000     		dr = 111.747340001304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03904396-2.03909190) × cos(-1.19614860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36594471346393 × 6371000     		do = 111.768934908736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03904396-2.03909190) × cos(-1.19616614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365928390041812 × 6371000     		du = 111.763949315456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19614860)-sin(-1.19616614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36594471346393-0.365928390041812)×R²
    abs(2.03909190-2.03904396)×1.63234221177699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63234221177699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63234221177699e-05×40589641000000     		ar = 12489.6026076167m²