Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108070 / 100054
↖ ↑ ↗
← S 68.356673°
E116.823120°		 ← 112.65 m → S 68.356673°
E116.825867°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.357686°
E116.823120°		 ← 112.64 m →
12 688 m²		 S 68.357686°
E116.825867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824512481689453 y=0.763355255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824512481689453 × 217)
    floor (0.824512481689453 × 131072)
    floor (108070.5)     		tx = 108070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763355255126953 × 217)
    floor (0.763355255126953 × 131072)
    floor (100054.5)     		ty = 100054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108070 / 100054 ti = "17/108070/100054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108070/100054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108070 ÷ 217
    108070 ÷ 131072     		x = 0.824508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100054 ÷ 217
    100054 ÷ 131072     		y = 0.763351440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824508666992188 × 2 - 1) × π
    0.649017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03894809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763351440429688 × 2 - 1) × π
    -0.526702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6546859010851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03894809} λ = 2.03894809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6546859010851))-π/2
    2×atan(0.191152086940187)-π/2
    2×0.188873656885214-π/2
    0.377747313770428-1.57079632675     		φ = -1.19304901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03894809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.823120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19304901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.356673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108070 KachelY 100054 2.03894809 -1.19304901 116.823120 -68.356673
    Oben rechts KachelX + 1 108071 KachelY 100054 2.03899603 -1.19304901 116.825867 -68.356673
    Unten links KachelX 108070 KachelY + 1 100055 2.03894809 -1.19306669 116.823120 -68.357686
    Unten rechts KachelX + 1 108071 KachelY + 1 100055 2.03899603 -1.19306669 116.825867 -68.357686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19304901--1.19306669) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19304901--1.19306669) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03894809-2.03899603) × cos(-1.19304901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368827542821871 × 6371000     		do = 112.649425198678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03894809-2.03899603) × cos(-1.19306669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36881110924233 × 6371000     		du = 112.644405960486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19304901)-sin(-1.19306669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368827542821871-0.36881110924233)×R²
    abs(2.03899603-2.03894809)×1.64335795412862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64335795412862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64335795412862e-05×40589641000000     		ar = 12688.4674654235m²