Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10807 / 5830
↖ ↑ ↗
← N 81.356335°
W120.635376°		 ← 91.80 m → N 81.356335°
W120.629883°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 81.355510°
W120.635376°		 ← 91.81 m →
8 429 m²		 N 81.355510°
W120.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164909362792969 y=0.0889663696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164909362792969 × 216)
    floor (0.164909362792969 × 65536)
    floor (10807.5)     		tx = 10807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889663696289062 × 216)
    floor (0.0889663696289062 × 65536)
    floor (5830.5)     		ty = 5830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10807 / 5830 ti = "16/10807/5830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10807/5830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10807 ÷ 216
    10807 ÷ 65536     		x = 0.164901733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5830 ÷ 216
    5830 ÷ 65536     		y = 0.088958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164901733398438 × 2 - 1) × π
    -0.670196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10548451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088958740234375 × 2 - 1) × π
    0.82208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58264840393015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10548451} λ = -2.10548451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58264840393015))-π/2
    2×atan(13.2321358357623)-π/2
    2×1.49536612257853-π/2
    2.99073224515706-1.57079632675     		φ = 1.41993592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10548451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.635376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41993592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.356335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10807 KachelY 5830 -2.10548451 1.41993592 -120.635376 81.356335
    Oben rechts KachelX + 1 10808 KachelY 5830 -2.10538863 1.41993592 -120.629883 81.356335
    Unten links KachelX 10807 KachelY + 1 5831 -2.10548451 1.41992151 -120.635376 81.355510
    Unten rechts KachelX + 1 10808 KachelY + 1 5831 -2.10538863 1.41992151 -120.629883 81.355510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41993592-1.41992151) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41993592-1.41992151) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10548451--2.10538863) × cos(1.41993592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150288822408175 × 6371000     		do = 91.8041495954304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10548451--2.10538863) × cos(1.41992151) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150303068725727 × 6371000     		du = 91.8128519795917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41993592)-sin(1.41992151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150288822408175-0.150303068725727)×R²
    abs(-2.10538863--2.10548451)×1.42463175521468e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42463175521468e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42463175521468e-05×40589641000000     		ar = 8428.58132246373m²