Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108068 / 100065
↖ ↑ ↗
← S 68.367814°
E116.817627°		 ← 112.59 m → S 68.367814°
E116.820373°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.368826°
E116.817627°		 ← 112.59 m →
12 675 m²		 S 68.368826°
E116.820373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824497222900391 y=0.763439178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824497222900391 × 217)
    floor (0.824497222900391 × 131072)
    floor (108068.5)     		tx = 108068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763439178466797 × 217)
    floor (0.763439178466797 × 131072)
    floor (100065.5)     		ty = 100065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108068 / 100065 ti = "17/108068/100065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108068/100065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108068 ÷ 217
    108068 ÷ 131072     		x = 0.824493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100065 ÷ 217
    100065 ÷ 131072     		y = 0.763435363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824493408203125 × 2 - 1) × π
    0.64898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03885221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763435363769531 × 2 - 1) × π
    -0.526870727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65521320698092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03885221} λ = 2.03885221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65521320698092))-π/2
    2×atan(0.191051317888138)-π/2
    2×0.18877643824445-π/2
    0.3775528764889-1.57079632675     		φ = -1.19324345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03885221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19324345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.367814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108068 KachelY 100065 2.03885221 -1.19324345 116.817627 -68.367814
    Oben rechts KachelX + 1 108069 KachelY 100065 2.03890015 -1.19324345 116.820373 -68.367814
    Unten links KachelX 108068 KachelY + 1 100066 2.03885221 -1.19326112 116.817627 -68.368826
    Unten rechts KachelX + 1 108069 KachelY + 1 100066 2.03890015 -1.19326112 116.820373 -68.368826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19324345--1.19326112) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19324345--1.19326112) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03885221-2.03890015) × cos(-1.19324345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368646804289934 × 6371000     		do = 112.594222998815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03885221-2.03890015) × cos(-1.19326112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368630378738574 × 6371000     		du = 112.589206212635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19324345)-sin(-1.19326112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368646804289934-0.368630378738574)×R²
    abs(2.03890015-2.03885221)×1.64255513600553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64255513600553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64255513600553e-05×40589641000000     		ar = 12675.0764491944m²