Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108066 / 100190
↖ ↑ ↗
← S 68.494026°
E116.812134°		 ← 111.97 m → S 68.494026°
E116.814881°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.495033°
E116.812134°		 ← 111.96 m →
12 533 m²		 S 68.495033°
E116.814881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824481964111328 y=0.764392852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824481964111328 × 217)
    floor (0.824481964111328 × 131072)
    floor (108066.5)     		tx = 108066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764392852783203 × 217)
    floor (0.764392852783203 × 131072)
    floor (100190.5)     		ty = 100190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108066 / 100190 ti = "17/108066/100190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108066/100190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108066 ÷ 217
    108066 ÷ 131072     		x = 0.824478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100190 ÷ 217
    100190 ÷ 131072     		y = 0.764389038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824478149414062 × 2 - 1) × π
    0.648956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03875634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764389038085938 × 2 - 1) × π
    -0.528778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66120531943343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03875634} λ = 2.03875634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66120531943343))-π/2
    2×atan(0.189909939954751)-π/2
    2×0.187675022922814-π/2
    0.375350045845627-1.57079632675     		φ = -1.19544628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03875634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19544628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.494026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108066 KachelY 100190 2.03875634 -1.19544628 116.812134 -68.494026
    Oben rechts KachelX + 1 108067 KachelY 100190 2.03880428 -1.19544628 116.814881 -68.494026
    Unten links KachelX 108066 KachelY + 1 100191 2.03875634 -1.19546385 116.812134 -68.495033
    Unten rechts KachelX + 1 108067 KachelY + 1 100191 2.03880428 -1.19546385 116.814881 -68.495033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19544628--1.19546385) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19544628--1.19546385) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03875634-2.03880428) × cos(-1.19544628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366598227849881 × 6371000     		do = 111.968535023665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03875634-2.03880428) × cos(-1.19546385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366581881028076 × 6371000     		du = 111.963542283519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19544628)-sin(-1.19546385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366598227849881-0.366581881028076)×R²
    abs(2.03880428-2.03875634)×1.6346821805846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6346821805846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6346821805846e-05×40589641000000     		ar = 12533.3070591726m²