Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108064 / 100191
↖ ↑ ↗
← S 68.495033°
E116.806641°		 ← 111.94 m → S 68.495033°
E116.809387°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.496040°
E116.806641°		 ← 111.94 m →
12 537 m²		 S 68.496040°
E116.809387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824466705322266 y=0.764400482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824466705322266 × 217)
    floor (0.824466705322266 × 131072)
    floor (108064.5)     		tx = 108064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764400482177734 × 217)
    floor (0.764400482177734 × 131072)
    floor (100191.5)     		ty = 100191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108064 / 100191 ti = "17/108064/100191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108064/100191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108064 ÷ 217
    108064 ÷ 131072     		x = 0.824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100191 ÷ 217
    100191 ÷ 131072     		y = 0.764396667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824462890625 × 2 - 1) × π
    0.64892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03866047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764396667480469 × 2 - 1) × π
    -0.528793334960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66125325633305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03866047} λ = 2.03866047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66125325633305))-π/2
    2×atan(0.189900836479221)-π/2
    2×0.187666236327551-π/2
    0.375332472655102-1.57079632675     		φ = -1.19546385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03866047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19546385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.495033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108064 KachelY 100191 2.03866047 -1.19546385 116.806641 -68.495033
    Oben rechts KachelX + 1 108065 KachelY 100191 2.03870840 -1.19546385 116.809387 -68.495033
    Unten links KachelX 108064 KachelY + 1 100192 2.03866047 -1.19548143 116.806641 -68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 108065 KachelY + 1 100192 2.03870840 -1.19548143 116.809387 -68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19546385--1.19548143) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19546385--1.19548143) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03866047-2.03870840) × cos(-1.19546385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366581881028076 × 6371000     		do = 111.94018735202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03866047-2.03870840) × cos(-1.19548143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 111.935192777708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19546385)-sin(-1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366581881028076-0.366565524789182)×R²
    abs(2.03870840-2.03866047)×1.63562388937888e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63562388937888e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63562388937888e-05×40589641000000     		ar = 12537.2653117529m²