Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108033 / 47617
↖ ↑ ↗
← N 44.085612°
E116.721496°		 ← 219.39 m → N 44.085612°
E116.724243°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
N 44.083639°
E116.721496°		 ← 219.39 m →
48 138 m²		 N 44.083639°
E116.724243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824230194091797 y=0.363292694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824230194091797 × 217)
    floor (0.824230194091797 × 131072)
    floor (108033.5)     		tx = 108033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363292694091797 × 217)
    floor (0.363292694091797 × 131072)
    floor (47617.5)     		ty = 47617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108033 / 47617 ti = "17/108033/47617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108033/47617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108033 ÷ 217
    108033 ÷ 131072     		x = 0.824226379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47617 ÷ 217
    47617 ÷ 131072     		y = 0.363288879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824226379394531 × 2 - 1) × π
    0.648452758789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03717442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363288879394531 × 2 - 1) × π
    0.273422241210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.858981304291786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03717442} λ = 2.03717442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858981304291786))-π/2
    2×atan(2.36075457780734)-π/2
    2×1.17011770611148-π/2
    2.34023541222296-1.57079632675     		φ = 0.76943909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03717442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.721496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76943909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.085612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108033 KachelY 47617 2.03717442 0.76943909 116.721496 44.085612
    Oben rechts KachelX + 1 108034 KachelY 47617 2.03722236 0.76943909 116.724243 44.085612
    Unten links KachelX 108033 KachelY + 1 47618 2.03717442 0.76940465 116.721496 44.083639
    Unten rechts KachelX + 1 108034 KachelY + 1 47618 2.03722236 0.76940465 116.724243 44.083639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76943909-0.76940465) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76943909-0.76940465) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03717442-2.03722236) × cos(0.76943909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718301025872632 × 6371000     		do = 219.387622369764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03717442-2.03722236) × cos(0.76940465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71832498647207 × 6371000     		du = 219.394940553578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76943909)-sin(0.76940465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718301025872632-0.71832498647207)×R²
    abs(2.03722236-2.03717442)×2.39605994375447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39605994375447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39605994375447e-05×40589641000000     		ar = 48138.229463145m²