Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108024 / 100272
↖ ↑ ↗
← S 68.576441°
E116.696777°		 ← 111.56 m → S 68.576441°
E116.699524°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.577444°
E116.696777°		 ← 111.55 m →
12 445 m²		 S 68.577444°
E116.699524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824161529541016 y=0.765018463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824161529541016 × 217)
    floor (0.824161529541016 × 131072)
    floor (108024.5)     		tx = 108024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765018463134766 × 217)
    floor (0.765018463134766 × 131072)
    floor (100272.5)     		ty = 100272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108024 / 100272 ti = "17/108024/100272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108024/100272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108024 ÷ 217
    108024 ÷ 131072     		x = 0.82415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100272 ÷ 217
    100272 ÷ 131072     		y = 0.7650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82415771484375 × 2 - 1) × π
    0.6483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03674299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66513614520227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03674299} λ = 2.03674299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66513614520227))-π/2
    2×atan(0.189164902334877)-π/2
    2×0.186955822210138-π/2
    0.373911644420276-1.57079632675     		φ = -1.19688468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03674299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19688468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.576441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108024 KachelY 100272 2.03674299 -1.19688468 116.696777 -68.576441
    Oben rechts KachelX + 1 108025 KachelY 100272 2.03679093 -1.19688468 116.699524 -68.576441
    Unten links KachelX 108024 KachelY + 1 100273 2.03674299 -1.19690219 116.696777 -68.577444
    Unten rechts KachelX + 1 108025 KachelY + 1 100273 2.03679093 -1.19690219 116.699524 -68.577444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19688468--1.19690219) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dl = 111.556210001051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19688468--1.19690219) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dr = 111.556210001051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03674299-2.03679093) × cos(-1.19688468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365259591406087 × 6371000     		do = 111.559680997229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03674299-2.03679093) × cos(-1.19690219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365243291191205 × 6371000     		du = 111.554702492036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19688468)-sin(-1.19690219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365259591406087-0.365243291191205)×R²
    abs(2.03679093-2.03674299)×1.63002148814706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63002148814706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63002148814706e-05×40589641000000     		ar = 12444.8975095731m²