Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108023 / 100278
↖ ↑ ↗
← S 68.582459°
E116.694031°		 ← 111.53 m → S 68.582459°
E116.696777°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.583462°
E116.694031°		 ← 111.52 m →
12 442 m²		 S 68.583462°
E116.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824153900146484 y=0.765064239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824153900146484 × 217)
    floor (0.824153900146484 × 131072)
    floor (108023.5)     		tx = 108023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765064239501953 × 217)
    floor (0.765064239501953 × 131072)
    floor (100278.5)     		ty = 100278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108023 / 100278 ti = "17/108023/100278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108023/100278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108023 ÷ 217
    108023 ÷ 131072     		x = 0.824150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100278 ÷ 217
    100278 ÷ 131072     		y = 0.765060424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824150085449219 × 2 - 1) × π
    0.648300170898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.03669505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765060424804688 × 2 - 1) × π
    -0.530120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66542376659999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03669505} λ = 2.03669505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66542376659999))-π/2
    2×atan(0.189110502284952)-π/2
    2×0.186903301004995-π/2
    0.37380660200999-1.57079632675     		φ = -1.19698972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03669505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.694031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19698972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.582459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108023 KachelY 100278 2.03669505 -1.19698972 116.694031 -68.582459
    Oben rechts KachelX + 1 108024 KachelY 100278 2.03674299 -1.19698972 116.696777 -68.582459
    Unten links KachelX 108023 KachelY + 1 100279 2.03669505 -1.19700723 116.694031 -68.583462
    Unten rechts KachelX + 1 108024 KachelY + 1 100279 2.03674299 -1.19700723 116.696777 -68.583462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19698972--1.19700723) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dl = 111.556210001051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19698972--1.19700723) × R
    1.75100000001649e-05 × 6371000     		dr = 111.556210001051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03669505-2.03674299) × cos(-1.19698972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365161807056026 × 6371000     		do = 111.529815139751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03669505-2.03674299) × cos(-1.19700723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365145506169445 × 6371000     		du = 111.524836429404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19698972)-sin(-1.19700723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365161807056026-0.365145506169445)×R²
    abs(2.03674299-2.03669505)×1.63008865803893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63008865803893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63008865803893e-05×40589641000000     		ar = 12441.5657765395m²