Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108019 / 43126
↖ ↑ ↗
← N 52.284962°
E116.683045°		 ← 186.80 m → N 52.284962°
E116.685791°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 52.283282°
E116.683045°		 ← 186.81 m →
34 895 m²		 N 52.283282°
E116.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824123382568359 y=0.329029083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824123382568359 × 217)
    floor (0.824123382568359 × 131072)
    floor (108019.5)     		tx = 108019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329029083251953 × 217)
    floor (0.329029083251953 × 131072)
    floor (43126.5)     		ty = 43126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108019 / 43126 ti = "17/108019/43126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108019/43126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108019 ÷ 217
    108019 ÷ 131072     		x = 0.824119567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43126 ÷ 217
    43126 ÷ 131072     		y = 0.329025268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824119567871094 × 2 - 1) × π
    0.648239135742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03650331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329025268554688 × 2 - 1) × π
    0.341949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07426592048546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03650331} λ = 2.03650331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07426592048546))-π/2
    2×atan(2.92784284202117)-π/2
    2×1.24167053457141-π/2
    2.48334106914283-1.57079632675     		φ = 0.91254474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03650331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.683045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91254474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.284962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108019 KachelY 43126 2.03650331 0.91254474 116.683045 52.284962
    Oben rechts KachelX + 1 108020 KachelY 43126 2.03655124 0.91254474 116.685791 52.284962
    Unten links KachelX 108019 KachelY + 1 43127 2.03650331 0.91251542 116.683045 52.283282
    Unten rechts KachelX + 1 108020 KachelY + 1 43127 2.03655124 0.91251542 116.685791 52.283282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91254474-0.91251542) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91254474-0.91251542) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03650331-2.03655124) × cos(0.91254474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		do = 186.800544529121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03650331-2.03655124) × cos(0.91251542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61175787639889 × 6371000     		du = 186.807627005768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91254474)-sin(0.91251542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611734682694527-0.61175787639889)×R²
    abs(2.03655124-2.03650331)×2.31937043626562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31937043626562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31937043626562e-05×40589641000000     		ar = 34894.5773106094m²