Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108016 / 41648
↖ ↑ ↗
← N 54.699233°
E116.674805°		 ← 176.46 m → N 54.699233°
E116.677551°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 54.697646°
E116.674805°		 ← 176.47 m →
31 142 m²		 N 54.697646°
E116.677551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824100494384766 y=0.317752838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824100494384766 × 217)
    floor (0.824100494384766 × 131072)
    floor (108016.5)     		tx = 108016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317752838134766 × 217)
    floor (0.317752838134766 × 131072)
    floor (41648.5)     		ty = 41648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108016 / 41648 ti = "17/108016/41648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108016/41648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108016 ÷ 217
    108016 ÷ 131072     		x = 0.8240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41648 ÷ 217
    41648 ÷ 131072     		y = 0.3177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8240966796875 × 2 - 1) × π
    0.648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03635950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3177490234375 × 2 - 1) × π
    0.364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1451166581239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03635950} λ = 2.03635950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1451166581239))-π/2
    2×atan(3.14280796953608)-π/2
    2×1.26273902508263-π/2
    2.52547805016526-1.57079632675     		φ = 0.95468172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03635950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95468172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.699233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108016 KachelY 41648 2.03635950 0.95468172 116.674805 54.699233
    Oben rechts KachelX + 1 108017 KachelY 41648 2.03640743 0.95468172 116.677551 54.699233
    Unten links KachelX 108016 KachelY + 1 41649 2.03635950 0.95465402 116.674805 54.697646
    Unten rechts KachelX + 1 108017 KachelY + 1 41649 2.03640743 0.95465402 116.677551 54.697646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95468172-0.95465402) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95468172-0.95465402) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03635950-2.03640743) × cos(0.95468172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577868544939017 × 6371000     		do = 176.459111955833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03635950-2.03640743) × cos(0.95465402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577891151514379 × 6371000     		du = 176.466015145576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95468172)-sin(0.95465402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577868544939017-0.577891151514379)×R²
    abs(2.03640743-2.03635950)×2.26065753614613e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26065753614613e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26065753614613e-05×40589641000000     		ar = 31141.5308908515m²