Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108012 / 100274
↖ ↑ ↗
← S 68.578447°
E116.663818°		 ← 111.55 m → S 68.578447°
E116.666565°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.579450°
E116.663818°		 ← 111.54 m →
12 444 m²		 S 68.579450°
E116.666565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824069976806641 y=0.765033721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824069976806641 × 217)
    floor (0.824069976806641 × 131072)
    floor (108012.5)     		tx = 108012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765033721923828 × 217)
    floor (0.765033721923828 × 131072)
    floor (100274.5)     		ty = 100274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108012 / 100274 ti = "17/108012/100274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108012/100274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108012 ÷ 217
    108012 ÷ 131072     		x = 0.824066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100274 ÷ 217
    100274 ÷ 131072     		y = 0.765029907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824066162109375 × 2 - 1) × π
    0.64813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03616775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765029907226562 × 2 - 1) × π
    -0.530059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66523201900151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03616775} λ = 2.03616775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66523201900151))-π/2
    2×atan(0.189146767246361)-π/2
    2×0.186938313579209-π/2
    0.373876627158417-1.57079632675     		φ = -1.19691970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03616775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.663818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19691970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.578447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108012 KachelY 100274 2.03616775 -1.19691970 116.663818 -68.578447
    Oben rechts KachelX + 1 108013 KachelY 100274 2.03621569 -1.19691970 116.666565 -68.578447
    Unten links KachelX 108012 KachelY + 1 100275 2.03616775 -1.19693721 116.663818 -68.579450
    Unten rechts KachelX + 1 108013 KachelY + 1 100275 2.03621569 -1.19693721 116.666565 -68.579450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19691970--1.19693721) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19691970--1.19693721) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03616775-2.03621569) × cos(-1.19691970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36522699086434 × 6371000     		do = 111.549723952641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03616775-2.03621569) × cos(-1.19693721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365210690425497 × 6371000     		du = 111.544745379045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19691970)-sin(-1.19693721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36522699086434-0.365210690425497)×R²
    abs(2.03621569-2.03616775)×1.63004388435417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63004388435417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63004388435417e-05×40589641000000     		ar = 12443.7867355197m²