Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108002 / 100255
↖ ↑ ↗
← S 68.559380°
E116.636353°		 ← 111.64 m → S 68.559380°
E116.639099°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.560384°
E116.636353°		 ← 111.64 m →
12 461 m²		 S 68.560384°
E116.639099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823993682861328 y=0.764888763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823993682861328 × 217)
    floor (0.823993682861328 × 131072)
    floor (108002.5)     		tx = 108002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764888763427734 × 217)
    floor (0.764888763427734 × 131072)
    floor (100255.5)     		ty = 100255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108002 / 100255 ti = "17/108002/100255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108002/100255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108002 ÷ 217
    108002 ÷ 131072     		x = 0.823989868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100255 ÷ 217
    100255 ÷ 131072     		y = 0.764884948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823989868164062 × 2 - 1) × π
    0.647979736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03568838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764884948730469 × 2 - 1) × π
    -0.529769897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66432121790873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03568838} λ = 2.03568838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66432121790873))-π/2
    2×atan(0.189319120806656)-π/2
    2×0.187104708679191-π/2
    0.374209417358383-1.57079632675     		φ = -1.19658691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03568838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.636353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19658691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.559380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108002 KachelY 100255 2.03568838 -1.19658691 116.636353 -68.559380
    Oben rechts KachelX + 1 108003 KachelY 100255 2.03573632 -1.19658691 116.639099 -68.559380
    Unten links KachelX 108002 KachelY + 1 100256 2.03568838 -1.19660443 116.636353 -68.560384
    Unten rechts KachelX + 1 108003 KachelY + 1 100256 2.03573632 -1.19660443 116.639099 -68.560384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19658691--1.19660443) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19658691--1.19660443) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03568838-2.03573632) × cos(-1.19658691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365536771000423 × 6371000     		do = 111.644338779941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03568838-2.03573632) × cos(-1.19660443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365520463382635 × 6371000     		du = 111.639358013711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19658691)-sin(-1.19660443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365536771000423-0.365520463382635)×R²
    abs(2.03573632-2.03568838)×1.63076177880916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63076177880916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63076177880916e-05×40589641000000     		ar = 12461.454187146m²