Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108001 / 100252
↖ ↑ ↗
← S 68.556368°
E116.633606°		 ← 111.66 m → S 68.556368°
E116.636353°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.557372°
E116.633606°		 ← 111.65 m →
12 463 m²		 S 68.557372°
E116.636353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823986053466797 y=0.764865875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823986053466797 × 217)
    floor (0.823986053466797 × 131072)
    floor (108001.5)     		tx = 108001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764865875244141 × 217)
    floor (0.764865875244141 × 131072)
    floor (100252.5)     		ty = 100252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108001 / 100252 ti = "17/108001/100252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108001/100252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108001 ÷ 217
    108001 ÷ 131072     		x = 0.823982238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100252 ÷ 217
    100252 ÷ 131072     		y = 0.764862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823982238769531 × 2 - 1) × π
    0.647964477539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03564044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.52972412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66417740720987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03564044} λ = 2.03564044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66417740720987))-π/2
    2×atan(0.189346348879524)-π/2
    2×0.187130994487716-π/2
    0.374261988975433-1.57079632675     		φ = -1.19653434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03564044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.633606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19653434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.556368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108001 KachelY 100252 2.03564044 -1.19653434 116.633606 -68.556368
    Oben rechts KachelX + 1 108002 KachelY 100252 2.03568838 -1.19653434 116.636353 -68.556368
    Unten links KachelX 108001 KachelY + 1 100253 2.03564044 -1.19655186 116.633606 -68.557372
    Unten rechts KachelX + 1 108002 KachelY + 1 100253 2.03568838 -1.19655186 116.636353 -68.557372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19653434--1.19655186) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19653434--1.19655186) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03564044-2.03568838) × cos(-1.19653434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365585702488334 × 6371000     		do = 111.659283715846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03564044-2.03568838) × cos(-1.19655186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36556939520723 × 6371000     		du = 111.654303052447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19653434)-sin(-1.19655186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365585702488334-0.36556939520723)×R²
    abs(2.03568838-2.03564044)×1.63072811040221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63072811040221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63072811040221e-05×40589641000000     		ar = 12463.1223453586m²