Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108000 / 100257
↖ ↑ ↗
← S 68.561387°
E116.630860°		 ← 111.61 m → S 68.561387°
E116.633606°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.562391°
E116.630860°		 ← 111.61 m →
12 458 m²		 S 68.562391°
E116.633606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823978424072266 y=0.764904022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823978424072266 × 217)
    floor (0.823978424072266 × 131072)
    floor (108000.5)     		tx = 108000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764904022216797 × 217)
    floor (0.764904022216797 × 131072)
    floor (100257.5)     		ty = 100257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108000 / 100257 ti = "17/108000/100257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108000/100257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108000 ÷ 217
    108000 ÷ 131072     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100257 ÷ 217
    100257 ÷ 131072     		y = 0.764900207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764900207519531 × 2 - 1) × π
    -0.529800415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66441709170797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66441709170797))-π/2
    2×atan(0.189300970933338)-π/2
    2×0.187087186761502-π/2
    0.374174373523004-1.57079632675     		φ = -1.19662195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19662195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.561387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108000 KachelY 100257 2.03559251 -1.19662195 116.630860 -68.561387
    Oben rechts KachelX + 1 108001 KachelY 100257 2.03564044 -1.19662195 116.633606 -68.561387
    Unten links KachelX 108000 KachelY + 1 100258 2.03559251 -1.19663947 116.630860 -68.562391
    Unten rechts KachelX + 1 108001 KachelY + 1 100258 2.03564044 -1.19663947 116.633606 -68.562391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19662195--1.19663947) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19662195--1.19663947) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03564044) × cos(-1.19662195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36550415565265 × 6371000     		do = 111.611090943598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03564044) × cos(-1.19663947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365487847810474 × 6371000     		du = 111.606111147806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19662195)-sin(-1.19663947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36550415565265-0.365487847810474)×R²
    abs(2.03564044-2.03559251)×1.63078421763774e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63078421763774e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63078421763774e-05×40589641000000     		ar = 12457.7431203751m²