Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10800 / 4496
↖ ↑ ↗
← N 82.390794°
W120.673828°		 ← 80.88 m → N 82.390794°
W120.668335°		 →
↑
80.85 m
↓
↑
80.85 m
↓
N 82.390067°
W120.673828°		 ← 80.89 m →
6 539 m²		 N 82.390067°
W120.668335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164802551269531 y=0.0686111450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164802551269531 × 216)
    floor (0.164802551269531 × 65536)
    floor (10800.5)     		tx = 10800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0686111450195312 × 216)
    floor (0.0686111450195312 × 65536)
    floor (4496.5)     		ty = 4496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10800 / 4496 ti = "16/10800/4496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10800/4496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10800 ÷ 216
    10800 ÷ 65536     		x = 0.164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4496 ÷ 216
    4496 ÷ 65536     		y = 0.068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.67041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10615562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068603515625 × 2 - 1) × π
    0.86279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.71054405211646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10615562} λ = -2.10615562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71054405211646))-π/2
    2×atan(15.0374544487094)-π/2
    2×1.50439347970354-π/2
    3.00878695940708-1.57079632675     		φ = 1.43799063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10615562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43799063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.390794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10800 KachelY 4496 -2.10615562 1.43799063 -120.673828 82.390794
    Oben rechts KachelX + 1 10801 KachelY 4496 -2.10605975 1.43799063 -120.668335 82.390794
    Unten links KachelX 10800 KachelY + 1 4497 -2.10615562 1.43797794 -120.673828 82.390067
    Unten rechts KachelX + 1 10801 KachelY + 1 4497 -2.10605975 1.43797794 -120.668335 82.390067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43799063-1.43797794) × R
    1.26900000001484e-05 × 6371000     		dl = 80.8479900009456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43799063-1.43797794) × R
    1.26900000001484e-05 × 6371000     		dr = 80.8479900009456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10615562--2.10605975) × cos(1.43799063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132415650761445 × 6371000     		do = 80.8778600416803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10615562--2.10605975) × cos(1.43797794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132428229006163 × 6371000     		du = 80.8855426797218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43799063)-sin(1.43797794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132415650761445-0.132428229006163)×R²
    abs(-2.10605975--2.10615562)×1.25782447174261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.25782447174261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.25782447174261e-05×40589641000000     		ar = 6539.1229825451m²