Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1080 / 504
↖ ↑ ↗
← N 82.720964°
W132.539063°		 ← 619.13 m → N 82.720964°
W132.495117°		 →
↑
619.39 m
↓
↑
619.39 m
↓
N 82.715394°
W132.539063°		 ← 619.60 m →
383 626 m²		 N 82.715394°
W132.495117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13189697265625 y=0.06158447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13189697265625 × 213)
    floor (0.13189697265625 × 8192)
    floor (1080.5)     		tx = 1080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06158447265625 × 213)
    floor (0.06158447265625 × 8192)
    floor (504.5)     		ty = 504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1080 / 504 ti = "13/1080/504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1080/504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1080 ÷ 213
    1080 ÷ 8192     		x = 0.1318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 504 ÷ 213
    504 ÷ 8192     		y = 0.0615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    -0.736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31324303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615234375 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31324303} λ = -2.31324303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75502949496387))-π/2
    2×atan(15.7215046011753)-π/2
    2×1.50727475765697-π/2
    3.01454951531393-1.57079632675     		φ = 1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31324303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.539063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1080 KachelY 504 -2.31324303 1.44375319 -132.539063 82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 1081 KachelY 504 -2.31247604 1.44375319 -132.495117 82.720964
    Unten links KachelX 1080 KachelY + 1 505 -2.31324303 1.44365597 -132.539063 82.715394
    Unten rechts KachelX + 1 1081 KachelY + 1 505 -2.31247604 1.44365597 -132.495117 82.715394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375319-1.44365597) × R
    9.7220000000009e-05 × 6371000     		dl = 619.388620000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375319-1.44365597) × R
    9.7220000000009e-05 × 6371000     		dr = 619.388620000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31324303--2.31247604) × cos(1.44375319) × R
    0.000766990000000245 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 619.126847167027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31324303--2.31247604) × cos(1.44365597) × R
    0.000766990000000245 × 0.126798103207408 × 6371000     		du = 619.598080507925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375319)-sin(1.44365597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126798103207408)×R²
    abs(-2.31247604--2.31324303)×9.64358923528363e-05×R²
    0.000766990000000245×9.64358923528363e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.64358923528363e-05×40589641000000     		ar = 383626.062056758m²