Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 108 / 122
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
W142.031250°		 ← 7 083.32 m → N 79.560546°
W141.679687°		 →
↑
7 104.75 m
↓
↑
7 104.75 m
↓
N 79.496652°
W142.031250°		 ← 7 126.19 m →
50 477 488 m²		 N 79.496652°
W141.679687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10595703125 y=0.11962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10595703125 × 210)
    floor (0.10595703125 × 1024)
    floor (108.5)     		tx = 108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11962890625 × 210)
    floor (0.11962890625 × 1024)
    floor (122.5)     		ty = 122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 108 / 122 ti = "10/108/122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/108/122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108 ÷ 210
    108 ÷ 1024     		x = 0.10546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122 ÷ 210
    122 ÷ 1024     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10546875 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.47891295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47891295} λ = -2.47891295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47891295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108 KachelY 122 -2.47891295 1.38859349 -142.031250 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 109 KachelY 122 -2.47277703 1.38859349 -141.679687 79.560546
    Unten links KachelX 108 KachelY + 1 123 -2.47891295 1.38747832 -142.031250 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 109 KachelY + 1 123 -2.47277703 1.38747832 -141.679687 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38747832) × R
    0.00111517000000005 × 6371000     		dl = 7104.74807000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38747832) × R
    0.00111517000000005 × 6371000     		dr = 7104.74807000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47891295--2.47277703) × cos(1.38859349) × R
    0.00613591999999974 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 7083.31933197281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47891295--2.47277703) × cos(1.38747832) × R
    0.00613591999999974 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 7126.18746730104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.47277703--2.47891295)×0.00109659762083272×R²
    0.00613591999999974×0.00109659762083272×6371000²
    0.00613591999999974×0.00109659762083272×40589641000000     		ar = 50477488.2350689m²