Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107995 / 43098
↖ ↑ ↗
← N 52.331983°
E116.617126°		 ← 186.64 m → N 52.331983°
E116.619873°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
N 52.330304°
E116.617126°		 ← 186.65 m →
34 841 m²		 N 52.330304°
E116.619873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823940277099609 y=0.328815460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823940277099609 × 217)
    floor (0.823940277099609 × 131072)
    floor (107995.5)     		tx = 107995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328815460205078 × 217)
    floor (0.328815460205078 × 131072)
    floor (43098.5)     		ty = 43098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107995 / 43098 ti = "17/107995/43098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107995/43098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107995 ÷ 217
    107995 ÷ 131072     		x = 0.823936462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43098 ÷ 217
    43098 ÷ 131072     		y = 0.328811645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823936462402344 × 2 - 1) × π
    0.647872924804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.03535282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328811645507812 × 2 - 1) × π
    0.342376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07560815367482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03535282} λ = 2.03535282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07560815367482))-π/2
    2×atan(2.93177532842346)-π/2
    2×1.24208086194166-π/2
    2.48416172388332-1.57079632675     		φ = 0.91336540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03535282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.617126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91336540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.331983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107995 KachelY 43098 2.03535282 0.91336540 116.617126 52.331983
    Oben rechts KachelX + 1 107996 KachelY 43098 2.03540076 0.91336540 116.619873 52.331983
    Unten links KachelX 107995 KachelY + 1 43099 2.03535282 0.91333610 116.617126 52.330304
    Unten rechts KachelX + 1 107996 KachelY + 1 43099 2.03540076 0.91333610 116.619873 52.330304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91336540-0.91333610) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91336540-0.91333610) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03535282-2.03540076) × cos(0.91336540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611085283005264 × 6371000     		do = 186.64117476487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03535282-2.03540076) × cos(0.91333610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611108475590565 × 6371000     		du = 186.648258377398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91336540)-sin(0.91333610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611085283005264-0.611108475590565)×R²
    abs(2.03540076-2.03535282)×2.31925853003689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31925853003689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31925853003689e-05×40589641000000     		ar = 34841.0252382219m²