Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107992 / 43144
↖ ↑ ↗
← N 52.254709°
E116.608887°		 ← 186.97 m → N 52.254709°
E116.611633°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
N 52.253027°
E116.608887°		 ← 186.97 m →
34 961 m²		 N 52.253027°
E116.611633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823917388916016 y=0.329166412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823917388916016 × 217)
    floor (0.823917388916016 × 131072)
    floor (107992.5)     		tx = 107992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329166412353516 × 217)
    floor (0.329166412353516 × 131072)
    floor (43144.5)     		ty = 43144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107992 / 43144 ti = "17/107992/43144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107992/43144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107992 ÷ 217
    107992 ÷ 131072     		x = 0.82391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43144 ÷ 217
    43144 ÷ 131072     		y = 0.32916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82391357421875 × 2 - 1) × π
    0.6478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03520901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32916259765625 × 2 - 1) × π
    0.3416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0734030562923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03520901} λ = 2.03520901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0734030562923))-π/2
    2×atan(2.92531760089634)-π/2
    2×1.24140652251335-π/2
    2.48281304502671-1.57079632675     		φ = 0.91201672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03520901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91201672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.254709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107992 KachelY 43144 2.03520901 0.91201672 116.608887 52.254709
    Oben rechts KachelX + 1 107993 KachelY 43144 2.03525695 0.91201672 116.611633 52.254709
    Unten links KachelX 107992 KachelY + 1 43145 2.03520901 0.91198737 116.608887 52.253027
    Unten rechts KachelX + 1 107993 KachelY + 1 43145 2.03525695 0.91198737 116.611633 52.253027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91201672-0.91198737) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dl = 186.988850000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91201672-0.91198737) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dr = 186.988850000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03520901-2.03525695) × cos(0.91201672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612152294485675 × 6371000     		do = 186.967067535863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03520901-2.03525695) × cos(0.91198737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612175502437684 × 6371000     		du = 186.974155841779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91201672)-sin(0.91198737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612152294485675-0.612175502437684)×R²
    abs(2.03525695-2.03520901)×2.32079520092743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32079520092743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32079520092743e-05×40589641000000     		ar = 34961.4196661681m²