Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107991 / 43143
↖ ↑ ↗
← N 52.256390°
E116.606140°		 ← 186.96 m → N 52.256390°
E116.608887°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
N 52.254709°
E116.606140°		 ← 186.97 m →
34 948 m²		 N 52.254709°
E116.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823909759521484 y=0.329158782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823909759521484 × 217)
    floor (0.823909759521484 × 131072)
    floor (107991.5)     		tx = 107991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329158782958984 × 217)
    floor (0.329158782958984 × 131072)
    floor (43143.5)     		ty = 43143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107991 / 43143 ti = "17/107991/43143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107991/43143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107991 ÷ 217
    107991 ÷ 131072     		x = 0.823905944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43143 ÷ 217
    43143 ÷ 131072     		y = 0.329154968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823905944824219 × 2 - 1) × π
    0.647811889648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.03516107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329154968261719 × 2 - 1) × π
    0.341690063476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.07345099319192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03516107} λ = 2.03516107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07345099319192))-π/2
    2×atan(2.9254578349137)-π/2
    2×1.24142119457685-π/2
    2.48284238915371-1.57079632675     		φ = 0.91204606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03516107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.606140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91204606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.256390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107991 KachelY 43143 2.03516107 0.91204606 116.606140 52.256390
    Oben rechts KachelX + 1 107992 KachelY 43143 2.03520901 0.91204606 116.608887 52.256390
    Unten links KachelX 107991 KachelY + 1 43144 2.03516107 0.91201672 116.606140 52.254709
    Unten rechts KachelX + 1 107992 KachelY + 1 43144 2.03520901 0.91201672 116.608887 52.254709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91204606-0.91201672) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91204606-0.91201672) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03516107-2.03520901) × cos(0.91204606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612129093913923 × 6371000     		do = 186.959981484067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03516107-2.03520901) × cos(0.91201672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612152294485675 × 6371000     		du = 186.967067535863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91204606)-sin(0.91201672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612129093913923-0.612152294485675)×R²
    abs(2.03520901-2.03516107)×2.32005717525352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32005717525352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32005717525352e-05×40589641000000     		ar = 34948.1829963467m²