Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107987 / 43102
↖ ↑ ↗
← N 52.325268°
E116.595154°		 ← 186.63 m → N 52.325268°
E116.597900°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 52.323590°
E116.595154°		 ← 186.64 m →
34 827 m²		 N 52.323590°
E116.597900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823879241943359 y=0.328845977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823879241943359 × 217)
    floor (0.823879241943359 × 131072)
    floor (107987.5)     		tx = 107987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328845977783203 × 217)
    floor (0.328845977783203 × 131072)
    floor (43102.5)     		ty = 43102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107987 / 43102 ti = "17/107987/43102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107987/43102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107987 ÷ 217
    107987 ÷ 131072     		x = 0.823875427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43102 ÷ 217
    43102 ÷ 131072     		y = 0.328842163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823875427246094 × 2 - 1) × π
    0.647750854492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03496933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328842163085938 × 2 - 1) × π
    0.342315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07541640607634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03496933} λ = 2.03496933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07541640607634))-π/2
    2×atan(2.931213221438)-π/2
    2×1.24202227042742-π/2
    2.48404454085483-1.57079632675     		φ = 0.91324821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03496933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.595154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91324821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.325268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107987 KachelY 43102 2.03496933 0.91324821 116.595154 52.325268
    Oben rechts KachelX + 1 107988 KachelY 43102 2.03501726 0.91324821 116.597900 52.325268
    Unten links KachelX 107987 KachelY + 1 43103 2.03496933 0.91321892 116.595154 52.323590
    Unten rechts KachelX + 1 107988 KachelY + 1 43103 2.03501726 0.91321892 116.597900 52.323590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91324821-0.91321892) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91324821-0.91321892) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03496933-2.03501726) × cos(0.91324821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611178042283672 × 6371000     		do = 186.630567683282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03496933-2.03501726) × cos(0.91321892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611201224855757 × 6371000     		du = 186.637646760555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91324821)-sin(0.91321892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611178042283672-0.611201224855757)×R²
    abs(2.03501726-2.03496933)×2.31825720855561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31825720855561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31825720855561e-05×40589641000000     		ar = 34827.1543288992m²