Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107985 / 41649
↖ ↑ ↗
← N 54.697646°
E116.589661°		 ← 176.50 m → N 54.697646°
E116.592407°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 54.696059°
E116.589661°		 ← 176.51 m →
31 149 m²		 N 54.696059°
E116.592407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823863983154297 y=0.317760467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823863983154297 × 217)
    floor (0.823863983154297 × 131072)
    floor (107985.5)     		tx = 107985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317760467529297 × 217)
    floor (0.317760467529297 × 131072)
    floor (41649.5)     		ty = 41649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107985 / 41649 ti = "17/107985/41649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107985/41649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107985 ÷ 217
    107985 ÷ 131072     		x = 0.823860168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41649 ÷ 217
    41649 ÷ 131072     		y = 0.317756652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823860168457031 × 2 - 1) × π
    0.647720336914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03487345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317756652832031 × 2 - 1) × π
    0.364486694335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14506872122428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03487345} λ = 2.03487345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14506872122428))-π/2
    2×atan(3.14265731667687)-π/2
    2×1.26272517419854-π/2
    2.52545034839708-1.57079632675     		φ = 0.95465402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03487345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.589661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95465402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.697646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107985 KachelY 41649 2.03487345 0.95465402 116.589661 54.697646
    Oben rechts KachelX + 1 107986 KachelY 41649 2.03492139 0.95465402 116.592407 54.697646
    Unten links KachelX 107985 KachelY + 1 41650 2.03487345 0.95462632 116.589661 54.696059
    Unten rechts KachelX + 1 107986 KachelY + 1 41650 2.03492139 0.95462632 116.592407 54.696059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95465402-0.95462632) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95465402-0.95462632) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03487345-2.03492139) × cos(0.95465402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577891151514379 × 6371000     		do = 176.502832590615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03487345-2.03492139) × cos(0.95462632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57791375764633 × 6371000     		du = 176.509737085195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95465402)-sin(0.95462632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577891151514379-0.57791375764633)×R²
    abs(2.03492139-2.03487345)×2.26061319512638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26061319512638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26061319512638e-05×40589641000000     		ar = 31149.2466793128m²