Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107968 / 46270
↖ ↑ ↗
← N 46.683363°
E116.542968°		 ← 209.53 m → N 46.683363°
E116.545715°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
N 46.681479°
E116.542968°		 ← 209.54 m →
43 906 m²		 N 46.681479°
E116.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823734283447266 y=0.353015899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823734283447266 × 217)
    floor (0.823734283447266 × 131072)
    floor (107968.5)     		tx = 107968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353015899658203 × 217)
    floor (0.353015899658203 × 131072)
    floor (46270.5)     		ty = 46270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107968 / 46270 ti = "17/107968/46270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107968/46270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107968 ÷ 217
    107968 ÷ 131072     		x = 0.82373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46270 ÷ 217
    46270 ÷ 131072     		y = 0.353012084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82373046875 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03405852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353012084960938 × 2 - 1) × π
    0.293975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923552308080002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03405852} λ = 2.03405852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923552308080002))-π/2
    2×atan(2.51822001346028)-π/2
    2×1.19278735913028-π/2
    2.38557471826055-1.57079632675     		φ = 0.81477839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03405852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.542968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81477839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.683363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107968 KachelY 46270 2.03405852 0.81477839 116.542968 46.683363
    Oben rechts KachelX + 1 107969 KachelY 46270 2.03410646 0.81477839 116.545715 46.683363
    Unten links KachelX 107968 KachelY + 1 46271 2.03405852 0.81474550 116.542968 46.681479
    Unten rechts KachelX + 1 107969 KachelY + 1 46271 2.03410646 0.81474550 116.545715 46.681479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81477839-0.81474550) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81477839-0.81474550) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03405852-2.03410646) × cos(0.81477839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686029647883484 × 6371000     		do = 209.531112866615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03405852-2.03410646) × cos(0.81474550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686053577407648 × 6371000     		du = 209.538421559241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81477839)-sin(0.81474550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686029647883484-0.686053577407648)×R²
    abs(2.03410646-2.03405852)×2.3929524163635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3929524163635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3929524163635e-05×40589641000000     		ar = 43906.3740069413m²