Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107957 / 99990
↖ ↑ ↗
← S 68.291748°
E116.512756°		 ← 112.97 m → S 68.291748°
E116.515503°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.292764°
E116.512756°		 ← 112.97 m →
12 761 m²		 S 68.292764°
E116.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823650360107422 y=0.762866973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823650360107422 × 217)
    floor (0.823650360107422 × 131072)
    floor (107957.5)     		tx = 107957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762866973876953 × 217)
    floor (0.762866973876953 × 131072)
    floor (99990.5)     		ty = 99990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107957 / 99990 ti = "17/107957/99990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107957/99990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107957 ÷ 217
    107957 ÷ 131072     		x = 0.823646545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99990 ÷ 217
    99990 ÷ 131072     		y = 0.762863159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823646545410156 × 2 - 1) × π
    0.647293090820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.03353122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762863159179688 × 2 - 1) × π
    -0.525726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65161793950941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03353122} λ = 2.03353122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65161793950941))-π/2
    2×atan(0.191739434717542)-π/2
    2×0.189440238590904-π/2
    0.378880477181808-1.57079632675     		φ = -1.19191585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03353122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.512756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19191585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.291748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107957 KachelY 99990 2.03353122 -1.19191585 116.512756 -68.291748
    Oben rechts KachelX + 1 107958 KachelY 99990 2.03357916 -1.19191585 116.515503 -68.291748
    Unten links KachelX 107957 KachelY + 1 99991 2.03353122 -1.19193358 116.512756 -68.292764
    Unten rechts KachelX + 1 107958 KachelY + 1 99991 2.03357916 -1.19193358 116.515503 -68.292764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19191585--1.19193358) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19191585--1.19193358) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03353122-2.03357916) × cos(-1.19191585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369880575577609 × 6371000     		do = 112.971048507343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03353122-2.03357916) × cos(-1.19193358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369864102943349 × 6371000     		du = 112.966017340835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19191585)-sin(-1.19193358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369880575577609-0.369864102943349)×R²
    abs(2.03357916-2.03353122)×1.64726342593569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64726342593569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64726342593569e-05×40589641000000     		ar = 12760.6803376374m²