Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107956 / 99988
↖ ↑ ↗
← S 68.289716°
E116.510010°		 ← 112.98 m → S 68.289716°
E116.512756°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.290732°
E116.510010°		 ← 112.98 m →
12 762 m²		 S 68.290732°
E116.512756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823642730712891 y=0.762851715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823642730712891 × 217)
    floor (0.823642730712891 × 131072)
    floor (107956.5)     		tx = 107956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762851715087891 × 217)
    floor (0.762851715087891 × 131072)
    floor (99988.5)     		ty = 99988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107956 / 99988 ti = "17/107956/99988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107956/99988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107956 ÷ 217
    107956 ÷ 131072     		x = 0.823638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99988 ÷ 217
    99988 ÷ 131072     		y = 0.762847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823638916015625 × 2 - 1) × π
    0.64727783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03348328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.52569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65152206571017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03348328} λ = 2.03348328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65152206571017))-π/2
    2×atan(0.191757818386855)-π/2
    2×0.189457970308649-π/2
    0.378915940617299-1.57079632675     		φ = -1.19188039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03348328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.510010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19188039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.289716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107956 KachelY 99988 2.03348328 -1.19188039 116.510010 -68.289716
    Oben rechts KachelX + 1 107957 KachelY 99988 2.03353122 -1.19188039 116.512756 -68.289716
    Unten links KachelX 107956 KachelY + 1 99989 2.03348328 -1.19189812 116.510010 -68.290732
    Unten rechts KachelX + 1 107957 KachelY + 1 99989 2.03353122 -1.19189812 116.512756 -68.290732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19188039--1.19189812) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19188039--1.19189812) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03348328-2.03353122) × cos(-1.19188039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369913520497303 × 6371000     		do = 112.98111073382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03348328-2.03353122) × cos(-1.19189812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369897048095595 × 6371000     		du = 112.976079638339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19188039)-sin(-1.19189812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369913520497303-0.369897048095595)×R²
    abs(2.03353122-2.03348328)×1.64724017082674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64724017082674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64724017082674e-05×40589641000000     		ar = 12761.8169490062m²