Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107954 / 100210
↖ ↑ ↗
← S 68.514156°
E116.504517°		 ← 111.85 m → S 68.514156°
E116.507263°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.515161°
E116.504517°		 ← 111.84 m →
12 505 m²		 S 68.515161°
E116.507263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823627471923828 y=0.764545440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823627471923828 × 217)
    floor (0.823627471923828 × 131072)
    floor (107954.5)     		tx = 107954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764545440673828 × 217)
    floor (0.764545440673828 × 131072)
    floor (100210.5)     		ty = 100210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107954 / 100210 ti = "17/107954/100210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107954/100210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107954 ÷ 217
    107954 ÷ 131072     		x = 0.823623657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100210 ÷ 217
    100210 ÷ 131072     		y = 0.764541625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823623657226562 × 2 - 1) × π
    0.647247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03338741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    -0.529083251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66216405742583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03338741} λ = 2.03338741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66216405742583))-π/2
    2×atan(0.189727953332866)-π/2
    2×0.187499365456361-π/2
    0.374998730912722-1.57079632675     		φ = -1.19579760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03338741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.504517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19579760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.514156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107954 KachelY 100210 2.03338741 -1.19579760 116.504517 -68.514156
    Oben rechts KachelX + 1 107955 KachelY 100210 2.03343534 -1.19579760 116.507263 -68.514156
    Unten links KachelX 107954 KachelY + 1 100211 2.03338741 -1.19581515 116.504517 -68.515161
    Unten rechts KachelX + 1 107955 KachelY + 1 100211 2.03343534 -1.19581515 116.507263 -68.515161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19579760--1.19581515) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19579760--1.19581515) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03338741-2.03343534) × cos(-1.19579760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366271344358698 × 6371000     		do = 111.845361244269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03338741-2.03343534) × cos(-1.19581515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366255013885343 × 6371000     		du = 111.840374537775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19579760)-sin(-1.19581515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366271344358698-0.366255013885343)×R²
    abs(2.03343534-2.03338741)×1.63304733543645e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63304733543645e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63304733543645e-05×40589641000000     		ar = 12505.2684943012m²