Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107953 / 41645
↖ ↑ ↗
← N 54.703995°
E116.501770°		 ← 176.48 m → N 54.703995°
E116.504517°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 54.702408°
E116.501770°		 ← 176.48 m →
31 144 m²		 N 54.702408°
E116.504517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823619842529297 y=0.317729949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823619842529297 × 217)
    floor (0.823619842529297 × 131072)
    floor (107953.5)     		tx = 107953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317729949951172 × 217)
    floor (0.317729949951172 × 131072)
    floor (41645.5)     		ty = 41645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107953 / 41645 ti = "17/107953/41645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107953/41645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107953 ÷ 217
    107953 ÷ 131072     		x = 0.823616027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41645 ÷ 217
    41645 ÷ 131072     		y = 0.317726135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823616027832031 × 2 - 1) × π
    0.647232055664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.03333947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317726135253906 × 2 - 1) × π
    0.364547729492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.14526046882276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03333947} λ = 2.03333947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14526046882276))-π/2
    2×atan(3.14325997144714)-π/2
    2×1.2627805744837-π/2
    2.52556114896739-1.57079632675     		φ = 0.95476482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03333947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.501770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95476482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.703995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107953 KachelY 41645 2.03333947 0.95476482 116.501770 54.703995
    Oben rechts KachelX + 1 107954 KachelY 41645 2.03338741 0.95476482 116.504517 54.703995
    Unten links KachelX 107953 KachelY + 1 41646 2.03333947 0.95473712 116.501770 54.702408
    Unten rechts KachelX + 1 107954 KachelY + 1 41646 2.03338741 0.95473712 116.504517 54.702408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95476482-0.95473712) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dl = 176.47669999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95476482-0.95473712) × R
    2.76999999999639e-05 × 6371000     		dr = 176.47669999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03333947-2.03338741) × cos(0.95476482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577800722552646 × 6371000     		do = 176.475213258061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03333947-2.03338741) × cos(0.95473712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577823330458133 × 6371000     		du = 176.482118294324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95476482)-sin(0.95473712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577800722552646-0.577823330458133)×R²
    abs(2.03338741-2.03333947)×2.26079054876926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26079054876926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26079054876926e-05×40589641000000     		ar = 31144.3725584873m²