Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107947 / 43041
↖ ↑ ↗
← N 52.427547°
E116.485291°		 ← 186.24 m → N 52.427547°
E116.488037°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.425873°
E116.485291°		 ← 186.24 m →
34 683 m²		 N 52.425873°
E116.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823574066162109 y=0.328380584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823574066162109 × 217)
    floor (0.823574066162109 × 131072)
    floor (107947.5)     		tx = 107947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328380584716797 × 217)
    floor (0.328380584716797 × 131072)
    floor (43041.5)     		ty = 43041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107947 / 43041 ti = "17/107947/43041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107947/43041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107947 ÷ 217
    107947 ÷ 131072     		x = 0.823570251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43041 ÷ 217
    43041 ÷ 131072     		y = 0.328376770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823570251464844 × 2 - 1) × π
    0.647140502929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.03305185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328376770019531 × 2 - 1) × π
    0.343246459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07834055695316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03305185} λ = 2.03305185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07834055695316))-π/2
    2×atan(2.93979707527502)-π/2
    2×1.24291482506907-π/2
    2.48582965013813-1.57079632675     		φ = 0.91503332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03305185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.485291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91503332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.427547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107947 KachelY 43041 2.03305185 0.91503332 116.485291 52.427547
    Oben rechts KachelX + 1 107948 KachelY 43041 2.03309979 0.91503332 116.488037 52.427547
    Unten links KachelX 107947 KachelY + 1 43042 2.03305185 0.91500409 116.485291 52.425873
    Unten rechts KachelX + 1 107948 KachelY + 1 43042 2.03309979 0.91500409 116.488037 52.425873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91503332-0.91500409) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91503332-0.91500409) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03305185-2.03309979) × cos(0.91503332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609764166908559 × 6371000     		do = 186.237671903408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03305185-2.03309979) × cos(0.91500409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60978733384637 × 6371000     		du = 186.244747682532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91503332)-sin(0.91500409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609764166908559-0.60978733384637)×R²
    abs(2.03309979-2.03305185)×2.31669378107924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31669378107924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31669378107924e-05×40589641000000     		ar = 34682.6445147178m²