Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107940 / 100018
↖ ↑ ↗
← S 68.320176°
E116.466064°		 ← 112.83 m → S 68.320176°
E116.468811°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.321190°
E116.466064°		 ← 112.83 m →
12 723 m²		 S 68.321190°
E116.468811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823520660400391 y=0.763080596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823520660400391 × 217)
    floor (0.823520660400391 × 131072)
    floor (107940.5)     		tx = 107940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763080596923828 × 217)
    floor (0.763080596923828 × 131072)
    floor (100018.5)     		ty = 100018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107940 / 100018 ti = "17/107940/100018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107940/100018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107940 ÷ 217
    107940 ÷ 131072     		x = 0.823516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100018 ÷ 217
    100018 ÷ 131072     		y = 0.763076782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823516845703125 × 2 - 1) × π
    0.64703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03271629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763076782226562 × 2 - 1) × π
    -0.526153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65296017269878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03271629} λ = 2.03271629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65296017269878))-π/2
    2×atan(0.191482248325223)-π/2
    2×0.189192160322576-π/2
    0.378384320645151-1.57079632675     		φ = -1.19241201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03271629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19241201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.320176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107940 KachelY 100018 2.03271629 -1.19241201 116.466064 -68.320176
    Oben rechts KachelX + 1 107941 KachelY 100018 2.03276423 -1.19241201 116.468811 -68.320176
    Unten links KachelX 107940 KachelY + 1 100019 2.03271629 -1.19242971 116.466064 -68.321190
    Unten rechts KachelX + 1 107941 KachelY + 1 100019 2.03276423 -1.19242971 116.468811 -68.321190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19241201--1.19242971) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19241201--1.19242971) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03271629-2.03276423) × cos(-1.19241201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369419558079636 × 6371000     		do = 112.830241896872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03271629-2.03276423) × cos(-1.19242971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369403110071745 × 6371000     		du = 112.82521825189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19241201)-sin(-1.19242971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369419558079636-0.369403110071745)×R²
    abs(2.03276423-2.03271629)×1.64480078903018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64480078903018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64480078903018e-05×40589641000000     		ar = 12723.2107892518m²