Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107939 / 43060
↖ ↑ ↗
← N 52.395716°
E116.463318°		 ← 186.37 m → N 52.395716°
E116.466064°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 52.394040°
E116.463318°		 ← 186.38 m →
34 731 m²		 N 52.394040°
E116.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823513031005859 y=0.328525543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823513031005859 × 217)
    floor (0.823513031005859 × 131072)
    floor (107939.5)     		tx = 107939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328525543212891 × 217)
    floor (0.328525543212891 × 131072)
    floor (43060.5)     		ty = 43060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107939 / 43060 ti = "17/107939/43060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107939/43060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107939 ÷ 217
    107939 ÷ 131072     		x = 0.823509216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43060 ÷ 217
    43060 ÷ 131072     		y = 0.328521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823509216308594 × 2 - 1) × π
    0.647018432617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03266835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328521728515625 × 2 - 1) × π
    0.34295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07742975586038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03266835} λ = 2.03266835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07742975586038))-π/2
    2×atan(2.93712072388321)-π/2
    2×1.24263703789659-π/2
    2.48527407579318-1.57079632675     		φ = 0.91447775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03266835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.463318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91447775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.395716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107939 KachelY 43060 2.03266835 0.91447775 116.463318 52.395716
    Oben rechts KachelX + 1 107940 KachelY 43060 2.03271629 0.91447775 116.466064 52.395716
    Unten links KachelX 107939 KachelY + 1 43061 2.03266835 0.91444850 116.463318 52.394040
    Unten rechts KachelX + 1 107940 KachelY + 1 43061 2.03271629 0.91444850 116.466064 52.394040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91447775-0.91444850) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91447775-0.91444850) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03266835-2.03271629) × cos(0.91447775) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.610204408065948 × 6371000     		do = 186.372132886408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03266835-2.03271629) × cos(0.91444850) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.610227580942369 × 6371000     		du = 186.379210479337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91447775)-sin(0.91444850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610204408065948-0.610227580942369)×R²
    abs(2.03271629-2.03266835)×2.31728764212846e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.31728764212846e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.31728764212846e-05×40589641000000     		ar = 34731.4325779765m²