Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107939 / 41569
↖ ↑ ↗
← N 54.824426°
E116.463318°		 ← 175.95 m → N 54.824426°
E116.466064°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.822843°
E116.463318°		 ← 175.96 m →
30 962 m²		 N 54.822843°
E116.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823513031005859 y=0.317150115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823513031005859 × 217)
    floor (0.823513031005859 × 131072)
    floor (107939.5)     		tx = 107939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317150115966797 × 217)
    floor (0.317150115966797 × 131072)
    floor (41569.5)     		ty = 41569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107939 / 41569 ti = "17/107939/41569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107939/41569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107939 ÷ 217
    107939 ÷ 131072     		x = 0.823509216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41569 ÷ 217
    41569 ÷ 131072     		y = 0.317146301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823509216308594 × 2 - 1) × π
    0.647018432617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.03266835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317146301269531 × 2 - 1) × π
    0.365707397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14890367319389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03266835} λ = 2.03266835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14890367319389))-π/2
    2×atan(3.15473239541788)-π/2
    2×1.26383153347478-π/2
    2.52766306694956-1.57079632675     		φ = 0.95686674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03266835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.463318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95686674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.824426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107939 KachelY 41569 2.03266835 0.95686674 116.463318 54.824426
    Oben rechts KachelX + 1 107940 KachelY 41569 2.03271629 0.95686674 116.466064 54.824426
    Unten links KachelX 107939 KachelY + 1 41570 2.03266835 0.95683912 116.463318 54.822843
    Unten rechts KachelX + 1 107940 KachelY + 1 41570 2.03271629 0.95683912 116.466064 54.822843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95686674-0.95683912) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95686674-0.95683912) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03266835-2.03271629) × cos(0.95686674) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.576083906834199 × 6371000     		do = 175.950853548441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03266835-2.03271629) × cos(0.95683912) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.576106482941806 × 6371000     		du = 175.957748872813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95686674)-sin(0.95683912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576083906834199-0.576106482941806)×R²
    abs(2.03271629-2.03266835)×2.25761076069197e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.25761076069197e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.25761076069197e-05×40589641000000     		ar = 30962.1540422209m²